ダイナミックインシュレーションとは？

ダイナミックインシュレーション（dynamic insulation）とは、建物外皮に適用する通気性のある断熱材（ポーラス材）に対し、熱流方向と逆方向に空気を移流させることで、熱輸送（熱取得、又は熱損失）を妨げる断熱技術の一つである。

ダイナミックインシュレーションの概念は19世紀半ばからTechnische Universität MünchenのMax von Pettenkofferより建物外皮における通気性と住宅換気量について研究が進められ、ポーラス材で構成された壁面における気流の研究に繋がった¹[1] Samuel A. A.: Simulation modelling of dynamic insulation as a means for energy saving and human comfort, University of Strathclyde, Glasgow, U.K., p.1-156, 2002.。その後、1966年、University of GuelphのPattie D. R.²[2] Pattie D. R.: Heat transmission of porous materials in ventilation, ASHRAE Transactions 9(3), p.409-416, 1966.によってポーラス材を通過する空気によって熱貫流率が小さくなることが熱移動原理と共に纏められた。続いて多くの研究者により、ダイナミックインシュレーションによる換気、室内空気質、エネルギー消費量削減率等に関して様々な研究が行われ、実験による理論の実証と共に、数学的モデルが提案されている。現在では、多量の換気量を要するスポーツセンター、効率的な湿気制御を要するスイミングプールなどへ適用可能なシステムとして活発な研究と共に、様々な用途をもつ建物の外壁、窓部への適用が進められている。

図1にダイナミックインシュレーションと通常の断熱材の違いを示す。ダイナミックインシュレーションの断熱性能を評価するためには、ポーラス材内の空気の移流による熱輸送を考慮した検討が必要である。即ち、通常の建物外皮を評価する熱貫流率U_staticではなく、熱貫流率U_dynamic（dynamic U-value）³[3] Taylor B. J., Cawthorne D. A., and Imbabi M. S.: Analytical investigation of the steady-state behaviour of dynamic and diffusive building envelopes., Building and Environment 31(6), p.519-525, 1996.を用いることになる。

図1. ダイナミックインシュレーション vs. 通常の断熱材

【1】通常の断熱材（Conventional insulation）

定常状態における通常の断熱材の1次元熱伝導方程式は、ヒートソース、ヒートシンクがなければ、式[1]に示す2階線形同次微分方程式で表せる。

k\frac{\mathrm{d}^2 T(x)}{\mathrm{d} x^2}=0 \; \cdots \; [1]

ここで、T [K]は温度、k [W/(m∙K)]は熱伝導率である。

この微分方程式を解くと、式[2]に示すx方向による温度勾配が計算できる。

\frac{T(x)-T(0)}{T(L)-T(0)}=\frac{x}{L} \; \cdots \; [2]

※ 2階線形同次微分方程式は、2回積分する方法で簡単に計算できる。

▶ (1) 式[1]をxに対して1回積分すると、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k \cdot \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}=C_{1} \end{aligned}\end{array} ▶ (2) もう一度積分すると、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=C_{1}x+C_{2}\end{aligned}\end{array} ▶ (3-1) x = 0の場合はT(x) = T(0)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} C_{2} = T(0) \end{aligned}\end{array} ▶ (3-2) x = Lの場合はT(x) = T(L)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} C_{1} = \frac {T(L)-T(0)}{L} \end{aligned}\end{array} ▶ (4) 積分常数C1とC2を入れて整理すると、x方向による温度勾配は下式となる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=\frac {T(L)-T(0)}{L}x+T(0) \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ \frac{T(x)-T(0)}{T(L)-T(0)}=\frac{x}{L} \end{aligned}\end{array}

※ 2階線形同次微分方程式は、特性方程式を用いる方法でも簡単に計算できる。

▶ (1) 式[2]を解くため、解の形を下記のように仮定する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{mx} \end{aligned}\end{array} ▶ (2) 仮定した上式は、積分することにより、下式で表せる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{mx} \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}=m \cdot e^{mx} \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 T(x)}{\mathrm{d}x^2}=m^2 \cdot e^{mx} \end{aligned}\end{array} ▶ (3) 上式を式[2]に代入すると、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k \cdot m^2 \cdot e^{mx}=0 \end{aligned}\end{array} ▶ (4) k > 0、emx > 0なので、上式が成立するには、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ m_{1}=m_{2}=0 \end{aligned}\end{array} ▶ (5) (1)に示したT(x) = emxより、下式は式[4]の解である。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{m_{1}x}=e^0x=1 \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{m_{2}x}=e^0x=1 \end{aligned}\end{array} ▶ (6) ところで、mがm1 = m2という重解をもつ場合、式[2]の一般解は下式で表せる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=(C_{1}\cdot x +C_{2})\cdot e^{mx}\end{aligned} \end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \because \ T(x)=C_{1}\cdot x +C_{2} \end{aligned} \end{array} ▶ (7-1) x = 0の場合はT(x) = T(0)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} C_{2}=T(0) \end{aligned}\end{array} ▶ (7-2) x = Lの場合はT(x) = T(L)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} C_{1}=\frac {T(L)-T(0)}{L} \end{aligned} \end{array} ▶ (8) 積分常数C1とC2を入れて整理すると、x方向による温度勾配は下式となる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=\frac {T(L)-T(0)}{L}x+T(0) \end{aligned} \end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ \frac{T(x)-T(0)}{T(L)-T(0)}=\frac{x}{L} \end{aligned}\end{array}

熱貫流率U_staticを求めるため、x=0における微小熱流移動（q=k·dT(x)/dx）を対象とすると、熱貫流率U_staticは式[3]のように表すことが出来る。

U_{static}=\frac{k}{L} \; \cdots \; [3]

※ q=k·dT(x)/dx=Ustatic·(T(L)-T(L))であり、式[2]の両辺にkをかけて微分することでUstaticは下記のように計算できる。

▶ (1) 式[2]をT(x)に対して整理する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=T(0)+\frac{x}{L} \cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} ▶ (2) 両辺にkをかける。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot T(x)=k\cdot [T(0)+\frac{x}{L}\cdot (T(L)-T(0))] \end{aligned}\end{array} ▶ (3) 微分する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x} =k\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cdot [T(0)+\frac{x}{L}\cdot (T(L)-T(0))] \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x} = q = \frac{k}{L}\cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} ▶ (4) x = 0におけるUstaticは下式となる。→ 通常の断熱材は、xによらず一定値である。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(0)}{\mathrm{d}x} = q = \frac{k}{L}\cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ U_{static}=\frac{k}{L} \end{aligned}\end{array}

【2】ダイナミックインシュレーション（Dynamic insulation）

定常状態におけるダイナミックインシュレーションの1次元熱伝導方程式は、ヒートソース、ヒートシンクがなければ、式[4]に示す2階線形同次微分方程式で表せる。

k\frac{\mathrm{d}^2 T(x)}{\mathrm{d} x^2}-u\rho_{a}C_{p}\frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}=0 \; \cdots \; [4]

ここで、T [K]は温度、k [W/(m∙K)]は熱伝導率、u [m/s]はポーラス材における見かけの通過速度、ρ_a [kg/m³]は空気密度、C_p [J/(kg∙K)]は空気比熱である。

この微分方程式を解くと、式[5]に示すx方向による温度勾配が計算できる。

\frac{T(x)-T(0)}{T(L)-T(0)}=\frac{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}-1}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \; \cdots \; [5]

※ 2階線形同次微分方程式は、特性方程式を用いる方法で簡単に計算できる。

▶ (1) 式[4]を解くため、解の形を下記のように仮定する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{mx} \end{aligned}\end{array} ▶ (2) 仮定した上式は、積分することにより、下式で表せる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{mx} \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}=m \cdot e^{mx} \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 T(x)}{\mathrm{d}x^2}=m^2 \cdot e^{mx} \end{aligned}\end{array} ▶ (3) 上式を式[4]に代入すると、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k \cdot m^2 \cdot e^{mx} - u\rho_{a}C_{p} \cdot m \cdot e^{mx}=0 \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} (k \cdot m^2 - u\rho_{a}C_{p} \cdot m) \cdot e^{mx}=0 \end{aligned}\end{array} ▶ (4) emx > 0なので、上式が成立するには、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k \cdot m^2 - u\rho_{a}C_{p} \cdot m = 0 \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} m(k \cdot m - u\rho_{a}C_{p}) = 0 \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ m_{1}=0, \ m_{2}=\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k} \end{aligned}\end{array} ▶ (5) (1)に示したT(x) = emxより、下式は式[4]の解である。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{m_{1}x}=e^0x=1 \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{m_{2}x}=e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k} x} \end{aligned}\end{array} ▶ (6) ところで、C1、C2が定数とすれば、上式を線形結合したものも解である。これが、mがm1、m2という異なる実解をもつ場合、式[4]の一般解である。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=C_{1}\cdot e^{m_{1}x} +C_{2}\cdot e^{m_{2}x}\end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \because \ T(x)=C_{1}\cdot e^0x +C_{2}\cdot e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k} x} = C_{1} +C_{2}\cdot e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k} x}\end{aligned}\end{array} ▶ (7-1) x = 0の場合はT(x) = T(0)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(0) = C_{1}+C_{2} \end{aligned}\end{array} ▶ (7-2) x = Lの場合はT(x) = T(L)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(L) = C_{1}+C_{2}\cdot e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k} L} \end{aligned}\end{array} ▶ (8) 積分常数C1とC2を消去して整理すると、x方向による温度勾配は下式となる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \frac{T(x)-T(0)}{T(L)-T(0)} = \frac{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}-1}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \end{aligned}\end{array}

熱貫流率U_dynamicを求めるため、x=0における微小熱流移動（q=k·dT(x)/dx）を対象とすると、熱貫流率U_dynamicは式[6]のように表すことが出来る。

U_{dynamic}=\frac{u\rho_{a}C_{p}}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \; \cdots \; [6]

※ q=k·dT(x)/dx=Udynamic·(T(L)-T(0))であり、式[5]の両辺にkをかけて微分することでUdynamicは下記のように計算できる。

▶ (1) 式[5]をT(x)に対して整理する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=T(0)+\frac{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}-1}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} ▶ (2) 両辺にkをかける。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot T(x)=k\cdot [T(0)+\frac{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}-1}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \cdot (T(L)-T(0))] \end{aligned}\end{array} ▶ (3) 微分する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x} =k\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cdot [T(0)+\frac{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}-1}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \cdot (T(L)-T(0))] \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x} = q = \frac{u\rho_{a}C_{p} \cdot e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} ▶ (4) x = 0におけるUdynamicは下式となる。ここで、u ≠ 0である。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(0)}{\mathrm{d}x} = q = \frac{u\rho_{a}C_{p}}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ U_{dynamic}=\frac{u\rho_{a}C_{p}}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \end{aligned}\end{array}

これらの式から見ると、ポーラス材内を通過する空気速度（u）の増加に伴ってx=0における温度勾配が急減し、熱貫流率U_dynamicも幾何級数的に減少（図2参照）することが分かる。

図2. 通過風速による温度勾配と熱貫流率

[1] Samuel A. A.: Simulation modelling of dynamic insulation as a means for energy saving and human comfort, University of Strathclyde, Glasgow, U.K., p.1-156, 2002.【PDF LINK】
[2] Pattie D. R.: Heat transmission of porous materials in ventilation, ASHRAE Transactions 9(3), p.409-416, 1966. https://doi.org/10.13031/2013.39993.
[3] Taylor B. J., Cawthorne D. A., and Imbabi M. S.: Analytical investigation of the steady-state behaviour of dynamic and diffusive building envelopes., Building and Environment 31(6), p.519-525, 1996. https://doi.org/10.1016/0360-1323(96)00022-4.

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Nagoya University]