MRT（平均放射温度）

国際規格（ISO 7726¹[1] ISO 7726:1998, Ergonomics of the thermal environment – Instruments for measuring physical quantities, 1998. ）において、MRT（平均放射温度）は「人体が表面温度の不均一な周壁に取り囲まれ、壁との間で放射熱をやり取りする時、等価な放射熱を受ける均一な周壁温度を持つ仮想空間の壁面温度」と定義されている。少し難しく聞こえるが、簡単に言えば「周囲の様々な温度の面から受ける放射熱を、単一の温度で代表させた指標」のことである。

ここでは、MRT（平均放射温度）の定義からの理論的な計算法と、特定温度計を用いた実用的な測定・計算法について解説する。

【1】周壁温度を用いたMRTの計算法

人体が周囲の各表面（壁、窓、床など）とやり取りする放射熱伝達は、周壁と交換する熱フラックスの合計であり、MRT（平均放射温度）は周壁温度と人体の位置による角度係数（=形態係数）から求められる。建材は一般的に放射率（ɛ）が高くて1と仮定し、角度係数の合計が1になるため、平均放射温度の4乗は、各角度係数を加重する周壁温度の4乗の平均値（式[1]参照）である。

{\overline{{T}_{\mathrm{r}}}^{4}}＝{{T}_{1}}^{4}F_{\mathrm{p-1}}+{{T}_{2}}^{4}F_{\mathrm{p-2}}+\cdots+{{T}_{\mathrm{N}}}^{4}F_{\mathrm{p-N}} \; \cdots [1]

※ 角度係数 角度係数 Fp-Nとは、「人体から放射されるエネルギーの内、特定の面Nに到達する割合」のことである。これは人体の姿勢（立位か？座位か？）や、対象となる壁面との距離、位置関係などによって変化する。実務や研究では、Fangerの図表（姿勢ごとの投影面積比を示したグラフ）や、環境解析ソフトウェアを用いて算出するのが一般的である。

また、周壁との間に比較的に温度差が小さい場合（人体と各表面との温度差が概ね10˚C以内）では、式[1]の4乗計算を式[2]に示すように線形の形で近似して簡略化することも可能である。

{\overline{{T}_{\mathrm{r}}}}＝{{T}_{1}}F_{\mathrm{p-1}}+{{T}_{2}}F_{\mathrm{p-2}}+\cdots+{{T}_{\mathrm{N}}}F_{\mathrm{p-N}} \; \cdots [2]

ここにTᵣ は平均放射温度 [K]、T_N は表面Nにおける表面温度 [K]、F_p-N は人体と表面Nとの角度係数 [-]である。

【2】MRTの測定法

実際の室内空間では、全ての壁面温度と角度係数を測定・計算するのは非常に手間がかかる。そこで、実環境の測定では「グローブ温度計」を用いてMRT（平均放射温度）を間接的に算出する方法が広く用いられている。

グローブ温度計は、直径150mmの薄い銅板製の中空球の内外を黒色つや消し塗装し、その中心に温度センサーを挿入したものであり、室内空間に置かれたグローブ温度計は、周囲からの「放射熱」と、室温と気流による「対流熱」の影響を受け、やがて定常状態（温度が一定になった状態、Fig.1参照）に達する。この時、グローブ球の表面では式[3]のような熱収支が成り立つ。

{q_{\mathrm{r}}}+{q_{\mathrm{c}}}＝0\; \cdots [3]

ここに、q_r はグローブ温度計と囲まれた壁面との放射熱交換 [W/m²]、q_c はグローブ温度計と囲まれた空気との対流熱交換 [W/m²]である。

Figure 1. Globe thermometer

式[3]のq_r とq_c を分けて考えると、グローブ温度計と周りの環境との放射熱交換バランスは式[4]（シュテファン・ボルツマンの法則）、対流熱交換バランスは式[5]（ニュートンの冷却則）のように表される。

{q_{\mathrm{r}}}={\varepsilon_{\mathrm{g}}}{\sigma}\left ( {\overline{{T}_{\mathrm{r}}}^{4}}-{{{T}_{\mathrm{g}}}^{4}} \right )\; \cdots [4]

ここに、ɛ_g はグローブ温度計の放射率（一般的に0.95） [-]、T_g はグローブ温度 [K]、σ はシュテファン・ボルツマン定数（Stefan–Boltzmann constant）であり、SI単位系で、σ=5.67×10^-8 [W/(m²⋅K⁴)]と与えられる。

{q_{\mathrm{c}}}={h_{\mathrm{cg}}}\left ( {{T}_{\mathrm{a}}}-{{{T}_{\mathrm{g}}}} \right )\; \cdots [5]

ここに、T_a は空気温度（室温） [K]である。また、h_cg はグローブ温度計の対流熱伝達率 [W/(m²⋅K)]であるが、グローブ温度計の場合は自然対流、強制対流によって下記の式[6]と式[7]で推定可能である。

▶ 自然対流（natural convection）の場合 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {h_{\mathrm{cg}}}=1.4\left ( \frac{\Delta{T}}{D} \right )^{1/4}\; \cdots [6] \end{aligned}\end{array} ここに、ΔT はグローブ温度と周り空気の温度差 [K]、D はグローブ温度計の直径 [m]である。

▶ 強制対流（forced convection）の場合 \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {h_{\mathrm{cg}}}=6.3\frac{v_{\mathrm{a}}^{0.6}}{D^{0.4}}\; \cdots [7] \end{aligned}\end{array} ここに、va はグローブ温度計周りの気流速度 [m/s)]である。

※ 自然対流と強制対流の使い分け ISO 7726の推奨では、自然対流と強制対流の両方の式でを計算し、値が大きい方（より熱伝達が支配的な方）を採用することとされている。 一般的な目安として、気流速度が0.1〜0.2 m/s以下の微風状態では自然対流が支配的になり、それ以上の風速がある環境では強制対流の式が適用されることが多くなる。

よって、式[4]と式[5]を式[3]に入れて整理すると、熱バランスは式[8]のように表現される。

{\varepsilon_{\mathrm{g}}}{\sigma}\left ( {\overline{{T}_{\mathrm{r}}}^{4}}-{{{T}_{\mathrm{g}}}^{4}} \right )+{h_{\mathrm{cg}}}\left ( {{T}_{\mathrm{a}}}-{{{T}_{\mathrm{g}}}} \right )=0\; \cdots [8]

式[8]を平均放射温度に関して整理すると、式[9]が得られる。

{\overline{{T}_{\mathrm{r}}}}=\sqrt[4]{{{{T}_{\mathrm{g}}}^{4}}+\frac{{h_{\mathrm{cg}}}}{\varepsilon_{\mathrm{g}}{\sigma}}\left ( {{T}_{\mathrm{g}}}-{{{T}_{\mathrm{a}}}} \right )}\; \cdots [9]

以上のことより、グローブ温度計を用いて平均放射温度を測定すると、自然対流、強制対流によって下記の式[10]と式[12]で推定可能である。また、グローブ温度計は、直径（D）0.15 m、放射率（ɛ）0.95（表面：艶消し黒色塗料）のものが標準グローブ温度計として一般的に勧奨されるので、標準グローブ温度計を用いた場合は、式[11]と式[13]によって平均放射温度が求められる。

▶ 自然対流（natural convection）の場合 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {\overline{{t}_{\mathrm{r}}}}=\left [ { \left ( {t}_{\mathrm{g}}+273.15 \right ) ^{4}+\frac{{0.25 \times 10^8}}{\varepsilon_{\mathrm{g}}}\left ( \frac {\left| {{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}}\right| }{D}\right ) ^{1/4} \times \left ( {{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}}\right ) } \right ]^{1/4}-273.15 \; \cdots [10] \end{aligned}\end{array}

▶ 自然対流状況で標準グローブ計（D=0.15 m、ɛ=0.95）を使用した場合 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {\overline{{t}_{\mathrm{r}}}}=\left [ { \left ( {t}_{\mathrm{g}}+273.15 \right ) ^{4}+0.4 \times 10^8 \left| {{t}_{\mathrm{g}}}-{{t}_{\mathrm{a}}}\right|^{1/4} \times \left ( {{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}}\right ) } \right ]^{1/4}-273.15 \; \cdots [11] \end{aligned}\end{array}

▶ 強制対流（forced convection）の場合 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {\overline{{t}_{\mathrm{r}}}}=\left [ { \left ( {t}_{\mathrm{g}}+273.15 \right ) ^{4}+\frac{{1.1 \times 10^8 \times v_{\mathrm{a}}^{0.6}}}{\varepsilon_{\mathrm{g}} \times D^{0.4}}\left ({{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}}\right ) } \right ]^{1/4}-273.15 \; \cdots [12] \end{aligned}\end{array}

▶ 強制対流状況で標準グローブ計（D=0.15 m、ɛ=0.95）を使用した場合 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {\overline{{t}_{\mathrm{r}}}}=\left [ { \left ( {t}_{\mathrm{g}}+273.15 \right ) ^{4}+2.5 \times 10^8 \times v_{\mathrm{a}}^{0.6} \left ( {{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}}\right ) } \right ]^{1/4}-273.15 \; \cdots [13] \end{aligned}\end{array}

ここに、tᵣ は平均放射温度 [ºC]、t_g はグローブ温度 [ºC]、t_a は空気温度 [ºC]である。

一方、建築環境工学の教科書などでよく採用されている式[14]は、1934年に、T. Bedford and C. G. Warner²[2] T. Bedford and C. G. Warner, The glove thermometer in studies of heating and ventilation, Journal of Hygiene, Volume 34, Issue 4, p.458-473, 1934. によって提案された概算式であり、グローブ温度計の直径（D）0.15 m、放射率（ɛ）0.95の標準グローブ温度計を使用した場合にのみ、概略的に適用可能である。

{\overline{{t}_{\mathrm{r}}}}={{t}_{\mathrm{g}}} + 2.37\sqrt{v_{\mathrm{a}}}\left ( {{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}} \right )\; \cdots [14]

近年流通している小型グローブ温度計（直径75mm又は40mmなど）や卓上測定器で式[14]をそのまま使うと、大きな測定誤差が生じるため、計算に注意が必要である。小型のものを使用する場合は、式[10]と式[12]を用いて直径Dを適切に設定して計算しましょう。

[1] ISO 7726:1998, Ergonomics of the thermal environment – Instruments for measuring physical quantities, 1998.【LINK】
[2] T. Bedford and C. G. Warner, The glove thermometer in studies of heating and ventilation, Journal of Hygiene, Volume 34, Issue 4, p.458-473, 1934.【DOI】

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]