ダイナミックインシュレーション（dynamic insulation）とは、建物外皮に適用する通気性のある断熱材（ポーラス材）に対し、熱流方向と逆方向に空気を移流させることで、熱輸送（熱取得、又は熱損失）を妨げる断熱技術の一つである。

ダイナミックインシュレーションの概念は19世紀半ばからTechnische Universität MünchenのMax von Pettenkofferより建物外皮における通気性と住宅換気量について研究が進められ、ポーラス材で構成された壁面における気流の研究に繋がった¹。その後、1966年、University of GuelphのPattie D. R.²によってポーラス材を通過する空気によって熱貫流率が小さくなることが熱移動原理と共に纏められた。続いて多くの研究者により、ダイナミックインシュレーションによる換気、室内空気質、エネルギー消費量削減率等に関して様々な研究が行われ、実験による理論の実証と共に、数学的モデルが提案されている。現在では、多量の換気量を要するスポーツセンター、効率的な湿気制御を要するスイミングプールなどへ適用可能なシステムとして活発な研究と共に、様々な用途をもつ建物の外壁、窓部への適用が進められている。

図1にダイナミックインシュレーションと通常の断熱材の違いを示す。ダイナミックインシュレーションの断熱性能を評価するためには、ポーラス材内の空気の移流による熱輸送を考慮した検討が必要である。即ち、通常の建物外皮を評価する熱貫流率U_staticではなく、熱貫流率U_dynamic（dynamic U-value）³を用いることになる。

図1. ダイナミックインシュレーション vs. 通常の断熱材

【1】通常の断熱材（Conventional insulation）

定常状態における通常の断熱材の1次元熱伝導方程式は、ヒートソース、ヒートシンクがなければ、式[1]に示す2階線形同次微分方程式で表せる。

k\frac{\mathrm{d}^2 T(x)}{\mathrm{d} x^2}=0 \; \cdots \; [1]

ここで、T [K]は温度、k [W/(m∙K)]は熱伝導率である。

この微分方程式を解くと、式[2]に示すx方向による温度勾配が計算できる。

\frac{T(x)-T(0)}{T(L)-T(0)}=\frac{x}{L} \; \cdots \; [2]

※ 2階線形同次微分方程式は、2回積分する方法で簡単に計算できる。

▶ (1) 式[1]をxに対して1回積分すると、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k \cdot \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}=C_{1} \end{aligned}\end{array} ▶ (2) もう一度積分すると、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=C_{1}x+C_{2}\end{aligned}\end{array} ▶ (3-1) x = 0の場合はT(x) = T(0)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} C_{2} = T(0) \end{aligned}\end{array} ▶ (3-2) x = Lの場合はT(x) = T(L)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} C_{1} = \frac {T(L)-T(0)}{L} \end{aligned}\end{array} ▶ (4) 積分常数C1とC2を入れて整理すると、x方向による温度勾配は下式となる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=\frac {T(L)-T(0)}{L}x+T(0) \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ \frac{T(x)-T(0)}{T(L)-T(0)}=\frac{x}{L} \end{aligned}\end{array}

※ 2階線形同次微分方程式は、特性方程式を用いる方法でも簡単に計算できる。

▶ (1) 式[2]を解くため、解の形を下記のように仮定する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{mx} \end{aligned}\end{array} ▶ (2) 仮定した上式は、積分することにより、下式で表せる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{mx} \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}=m \cdot e^{mx} \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 T(x)}{\mathrm{d}x^2}=m^2 \cdot e^{mx} \end{aligned}\end{array} ▶ (3) 上式を式[2]に代入すると、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k \cdot m^2 \cdot e^{mx}=0 \end{aligned}\end{array} ▶ (4) k > 0、emx > 0なので、上式が成立するには、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ m_{1}=m_{2}=0 \end{aligned}\end{array} ▶ (5) (1)に示したT(x) = emxより、下式は式[4]の解である。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{m_{1}x}=e^0x=1 \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{m_{2}x}=e^0x=1 \end{aligned}\end{array} ▶ (6) ところで、mがm1 = m2という重解をもつ場合、式[2]の一般解は下式で表せる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=(C_{1}\cdot x +C_{2})\cdot e^{mx}\end{aligned} \end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \because \ T(x)=C_{1}\cdot x +C_{2} \end{aligned} \end{array} ▶ (7-1) x = 0の場合はT(x) = T(0)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} C_{2}=T(0) \end{aligned}\end{array} ▶ (7-2) x = Lの場合はT(x) = T(L)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} C_{1}=\frac {T(L)-T(0)}{L} \end{aligned} \end{array} ▶ (8) 積分常数C1とC2を入れて整理すると、x方向による温度勾配は下式となる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=\frac {T(L)-T(0)}{L}x+T(0) \end{aligned} \end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ \frac{T(x)-T(0)}{T(L)-T(0)}=\frac{x}{L} \end{aligned}\end{array}

熱貫流率U_staticを求めるため、x=0における微小熱流移動（q=k·dT(x)/dx）を対象とすると、熱貫流率U_staticは式[3]のように表すことが出来る。

U_{static}=\frac{k}{L} \; \cdots \; [3]

※ q=k·dT(x)/dx=Ustatic·(T(L)-T(L))であり、式[2]の両辺にkをかけて微分することでUstaticは下記のように計算できる。

▶ (1) 式[2]をT(x)に対して整理する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=T(0)+\frac{x}{L} \cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} ▶ (2) 両辺にkをかける。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot T(x)=k\cdot [T(0)+\frac{x}{L}\cdot (T(L)-T(0))] \end{aligned}\end{array} ▶ (3) 微分する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x} =k\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cdot [T(0)+\frac{x}{L}\cdot (T(L)-T(0))] \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x} = q = \frac{k}{L}\cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} ▶ (4) x = 0におけるUstaticは下式となる。→ 通常の断熱材は、xによらず一定値である。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(0)}{\mathrm{d}x} = q = \frac{k}{L}\cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ U_{static}=\frac{k}{L} \end{aligned}\end{array}

【2】ダイナミックインシュレーション（Dynamic insulation）

定常状態におけるダイナミックインシュレーションの1次元熱伝導方程式は、ヒートソース、ヒートシンクがなければ、式[4]に示す2階線形同次微分方程式で表せる。

k\frac{\mathrm{d}^2 T(x)}{\mathrm{d} x^2}-u\rho_{a}C_{p}\frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}=0 \; \cdots \; [4]

ここで、T [K]は温度、k [W/(m∙K)]は熱伝導率、u [m/s]はポーラス材における見かけの通過速度、ρ_a [kg/m³]は空気密度、C_p [J/(kg∙K)]は空気比熱である。

この微分方程式を解くと、式[5]に示すx方向による温度勾配が計算できる。

\frac{T(x)-T(0)}{T(L)-T(0)}=\frac{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}-1}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \; \cdots \; [5]

※ 2階線形同次微分方程式は、特性方程式を用いる方法で簡単に計算できる。

▶ (1) 式[4]を解くため、解の形を下記のように仮定する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{mx} \end{aligned}\end{array} ▶ (2) 仮定した上式は、積分することにより、下式で表せる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{mx} \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}=m \cdot e^{mx} \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 T(x)}{\mathrm{d}x^2}=m^2 \cdot e^{mx} \end{aligned}\end{array} ▶ (3) 上式を式[4]に代入すると、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k \cdot m^2 \cdot e^{mx} - u\rho_{a}C_{p} \cdot m \cdot e^{mx}=0 \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} (k \cdot m^2 - u\rho_{a}C_{p} \cdot m) \cdot e^{mx}=0 \end{aligned}\end{array} ▶ (4) emx > 0なので、上式が成立するには、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k \cdot m^2 - u\rho_{a}C_{p} \cdot m = 0 \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} m(k \cdot m - u\rho_{a}C_{p}) = 0 \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ m_{1}=0, \ m_{2}=\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k} \end{aligned}\end{array} ▶ (5) (1)に示したT(x) = emxより、下式は式[4]の解である。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{m_{1}x}=e^0x=1 \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=e^{m_{2}x}=e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k} x} \end{aligned}\end{array} ▶ (6) ところで、C1、C2が定数とすれば、上式を線形結合したものも解である。これが、mがm1、m2という異なる実解をもつ場合、式[4]の一般解である。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=C_{1}\cdot e^{m_{1}x} +C_{2}\cdot e^{m_{2}x}\end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \because \ T(x)=C_{1}\cdot e^0x +C_{2}\cdot e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k} x} = C_{1} +C_{2}\cdot e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k} x}\end{aligned}\end{array} ▶ (7-1) x = 0の場合はT(x) = T(0)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(0) = C_{1}+C_{2} \end{aligned}\end{array} ▶ (7-2) x = Lの場合はT(x) = T(L)であるため、 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(L) = C_{1}+C_{2}\cdot e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k} L} \end{aligned}\end{array} ▶ (8) 積分常数C1とC2を消去して整理すると、x方向による温度勾配は下式となる。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \frac{T(x)-T(0)}{T(L)-T(0)} = \frac{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}-1}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \end{aligned}\end{array}

熱貫流率U_dynamicを求めるため、x=0における微小熱流移動（q=k·dT(x)/dx）を対象とすると、熱貫流率U_dynamicは式[6]のように表すことが出来る。

U_{dynamic}=\frac{u\rho_{a}C_{p}}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \; \cdots \; [6]

※ q=k·dT(x)/dx=Udynamic·(T(L)-T(0))であり、式[5]の両辺にkをかけて微分することでUdynamicは下記のように計算できる。

▶ (1) 式[5]をT(x)に対して整理する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} T(x)=T(0)+\frac{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}-1}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} ▶ (2) 両辺にkをかける。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot T(x)=k\cdot [T(0)+\frac{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}-1}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \cdot (T(L)-T(0))] \end{aligned}\end{array} ▶ (3) 微分する。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x} =k\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cdot [T(0)+\frac{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}-1}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \cdot (T(L)-T(0))] \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x} = q = \frac{u\rho_{a}C_{p} \cdot e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}x}}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} ▶ (4) x = 0におけるUdynamicは下式となる。ここで、u ≠ 0である。 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} k\cdot \frac{\mathrm{d}T(0)}{\mathrm{d}x} = q = \frac{u\rho_{a}C_{p}}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \cdot (T(L)-T(0)) \end{aligned}\end{array} \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \therefore \ U_{dynamic}=\frac{u\rho_{a}C_{p}}{e^{\frac{u\rho_{a}C_{p}}{k}L}-1} \end{aligned}\end{array}

これらの式から見ると、ポーラス材内を通過する空気速度（u）の増加に伴ってx=0における温度勾配が急減し、熱貫流率U_dynamicも幾何級数的に減少（図2参照）することが分かる。

図2. 通過風速による温度勾配と熱貫流率

[1] Samuel A. A.: Simulation modelling of dynamic insulation as a means for energy saving and human comfort, University of Strathclyde, Glasgow, U.K., p.1-156, 2002.【PDF LINK】
[2] Pattie D. R.: Heat transmission of porous materials in ventilation, ASHRAE Transactions 9(3), p.409-416, 1966.【DOI】
[3] Taylor B. J., Cawthorne D. A., and Imbabi M. S.: Analytical investigation of the steady-state behaviour of dynamic and diffusive building envelopes., Building and Environment 31(6), p.519-525, 1996.【DOI】

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]

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国際規格（ISO 7726¹）において、MRT（平均放射温度）は「人体が表面温度の不均一な周壁に取り囲まれ、壁との間で放射熱をやり取りする時、等価な放射熱を受ける均一な周壁温度を持つ仮想空間の壁面温度」と定義されている。少し難しく聞こえるが、簡単に言えば「周囲の様々な温度の面から受ける放射熱を、単一の温度で代表させた指標」のことである。

ここでは、MRT（平均放射温度）の定義からの理論的な計算法と、特定温度計を用いた実用的な測定・計算法について解説する。

【1】周壁温度を用いたMRTの計算法

人体が周囲の各表面（壁、窓、床など）とやり取りする放射熱伝達は、周壁と交換する熱フラックスの合計であり、MRT（平均放射温度）は周壁温度と人体の位置による角度係数（=形態係数）から求められる。建材は一般的に放射率（ɛ）が高くて1と仮定し、角度係数の合計が1になるため、平均放射温度の4乗は、各角度係数を加重する周壁温度の4乗の平均値（式[1]参照）である。

{\overline{{T}_{\mathrm{r}}}^{4}}＝{{T}_{1}}^{4}F_{\mathrm{p-1}}+{{T}_{2}}^{4}F_{\mathrm{p-2}}+\cdots+{{T}_{\mathrm{N}}}^{4}F_{\mathrm{p-N}} \; \cdots [1]

※ 角度係数 角度係数 Fp-Nとは、「人体から放射されるエネルギーの内、特定の面Nに到達する割合」のことである。これは人体の姿勢（立位か？座位か？）や、対象となる壁面との距離、位置関係などによって変化する。実務や研究では、Fangerの図表（姿勢ごとの投影面積比を示したグラフ）や、環境解析ソフトウェアを用いて算出するのが一般的である。

また、周壁との間に比較的に温度差が小さい場合（人体と各表面との温度差が概ね10˚C以内）では、式[1]の4乗計算を式[2]に示すように線形の形で近似して簡略化することも可能である。

{\overline{{T}_{\mathrm{r}}}}＝{{T}_{1}}F_{\mathrm{p-1}}+{{T}_{2}}F_{\mathrm{p-2}}+\cdots+{{T}_{\mathrm{N}}}F_{\mathrm{p-N}} \; \cdots [2]

ここにTᵣ は平均放射温度 [K]、T_N は表面Nにおける表面温度 [K]、F_p-N は人体と表面Nとの角度係数 [-]である。

【2】MRTの測定法

実際の室内空間では、全ての壁面温度と角度係数を測定・計算するのは非常に手間がかかる。そこで、実環境の測定では「グローブ温度計」を用いてMRT（平均放射温度）を間接的に算出する方法が広く用いられている。

グローブ温度計は、直径150mmの薄い銅板製の中空球の内外を黒色つや消し塗装し、その中心に温度センサーを挿入したものであり、室内空間に置かれたグローブ温度計は、周囲からの「放射熱」と、室温と気流による「対流熱」の影響を受け、やがて定常状態（温度が一定になった状態、Fig.1参照）に達する。この時、グローブ球の表面では式[3]のような熱収支が成り立つ。

{q_{\mathrm{r}}}+{q_{\mathrm{c}}}＝0\; \cdots [3]

ここに、q_r はグローブ温度計と囲まれた壁面との放射熱交換 [W/m²]、q_c はグローブ温度計と囲まれた空気との対流熱交換 [W/m²]である。

Figure 1. Globe thermometer

式[3]のq_r とq_c を分けて考えると、グローブ温度計と周りの環境との放射熱交換バランスは式[4]（シュテファン・ボルツマンの法則）、対流熱交換バランスは式[5]（ニュートンの冷却則）のように表される。

{q_{\mathrm{r}}}={\varepsilon_{\mathrm{g}}}{\sigma}\left ( {\overline{{T}_{\mathrm{r}}}^{4}}-{{{T}_{\mathrm{g}}}^{4}} \right )\; \cdots [4]

ここに、ɛ_g はグローブ温度計の放射率（一般的に0.95） [-]、T_g はグローブ温度 [K]、σ はシュテファン・ボルツマン定数（Stefan–Boltzmann constant）であり、SI単位系で、σ=5.67×10^-8 [W/(m²⋅K⁴)]と与えられる。

{q_{\mathrm{c}}}={h_{\mathrm{cg}}}\left ( {{T}_{\mathrm{a}}}-{{{T}_{\mathrm{g}}}} \right )\; \cdots [5]

ここに、T_a は空気温度（室温） [K]である。また、h_cg はグローブ温度計の対流熱伝達率 [W/(m²⋅K)]であるが、グローブ温度計の場合は自然対流、強制対流によって下記の式[6]と式[7]で推定可能である。

▶ 自然対流（natural convection）の場合 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {h_{\mathrm{cg}}}=1.4\left ( \frac{\Delta{T}}{D} \right )^{1/4}\; \cdots [6] \end{aligned}\end{array} ここに、ΔT はグローブ温度と周り空気の温度差 [K]、D はグローブ温度計の直径 [m]である。

▶ 強制対流（forced convection）の場合 \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {h_{\mathrm{cg}}}=6.3\frac{v_{\mathrm{a}}^{0.6}}{D^{0.4}}\; \cdots [7] \end{aligned}\end{array} ここに、va はグローブ温度計周りの気流速度 [m/s)]である。

※ 自然対流と強制対流の使い分け ISO 7726の推奨では、自然対流と強制対流の両方の式でを計算し、値が大きい方（より熱伝達が支配的な方）を採用することとされている。 一般的な目安として、気流速度が0.1〜0.2 m/s以下の微風状態では自然対流が支配的になり、それ以上の風速がある環境では強制対流の式が適用されることが多くなる。

よって、式[4]と式[5]を式[3]に入れて整理すると、熱バランスは式[8]のように表現される。

{\varepsilon_{\mathrm{g}}}{\sigma}\left ( {\overline{{T}_{\mathrm{r}}}^{4}}-{{{T}_{\mathrm{g}}}^{4}} \right )+{h_{\mathrm{cg}}}\left ( {{T}_{\mathrm{a}}}-{{{T}_{\mathrm{g}}}} \right )=0\; \cdots [8]

式[8]を平均放射温度に関して整理すると、式[9]が得られる。

{\overline{{T}_{\mathrm{r}}}}=\sqrt[4]{{{{T}_{\mathrm{g}}}^{4}}+\frac{{h_{\mathrm{cg}}}}{\varepsilon_{\mathrm{g}}{\sigma}}\left ( {{T}_{\mathrm{g}}}-{{{T}_{\mathrm{a}}}} \right )}\; \cdots [9]

以上のことより、グローブ温度計を用いて平均放射温度を測定すると、自然対流、強制対流によって下記の式[10]と式[12]で推定可能である。また、グローブ温度計は、直径（D）0.15 m、放射率（ɛ）0.95（表面：艶消し黒色塗料）のものが標準グローブ温度計として一般的に勧奨されるので、標準グローブ温度計を用いた場合は、式[11]と式[13]によって平均放射温度が求められる。

▶ 自然対流（natural convection）の場合 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {\overline{{t}_{\mathrm{r}}}}=\left [ { \left ( {t}_{\mathrm{g}}+273.15 \right ) ^{4}+\frac{{0.25 \times 10^8}}{\varepsilon_{\mathrm{g}}}\left ( \frac {\left| {{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}}\right| }{D}\right ) ^{1/4} \times \left ( {{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}}\right ) } \right ]^{1/4}-273.15 \; \cdots [10] \end{aligned}\end{array}

▶ 自然対流状況で標準グローブ計（D=0.15 m、ɛ=0.95）を使用した場合 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {\overline{{t}_{\mathrm{r}}}}=\left [ { \left ( {t}_{\mathrm{g}}+273.15 \right ) ^{4}+0.4 \times 10^8 \left| {{t}_{\mathrm{g}}}-{{t}_{\mathrm{a}}}\right|^{1/4} \times \left ( {{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}}\right ) } \right ]^{1/4}-273.15 \; \cdots [11] \end{aligned}\end{array}

▶ 強制対流（forced convection）の場合 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {\overline{{t}_{\mathrm{r}}}}=\left [ { \left ( {t}_{\mathrm{g}}+273.15 \right ) ^{4}+\frac{{1.1 \times 10^8 \times v_{\mathrm{a}}^{0.6}}}{\varepsilon_{\mathrm{g}} \times D^{0.4}}\left ({{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}}\right ) } \right ]^{1/4}-273.15 \; \cdots [12] \end{aligned}\end{array}

▶ 強制対流状況で標準グローブ計（D=0.15 m、ɛ=0.95）を使用した場合 \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} {\overline{{t}_{\mathrm{r}}}}=\left [ { \left ( {t}_{\mathrm{g}}+273.15 \right ) ^{4}+2.5 \times 10^8 \times v_{\mathrm{a}}^{0.6} \left ( {{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}}\right ) } \right ]^{1/4}-273.15 \; \cdots [13] \end{aligned}\end{array}

ここに、tᵣ は平均放射温度 [ºC]、t_g はグローブ温度 [ºC]、t_a は空気温度 [ºC]である。

一方、建築環境工学の教科書などでよく採用されている式[14]は、1934年に、T. Bedford and C. G. Warner²によって提案された概算式であり、グローブ温度計の直径（D）0.15 m、放射率（ɛ）0.95の標準グローブ温度計を使用した場合にのみ、概略的に適用可能である。

{\overline{{t}_{\mathrm{r}}}}={{t}_{\mathrm{g}}} + 2.37\sqrt{v_{\mathrm{a}}}\left ( {{t}_{\mathrm{g}}}-{{{t}_{\mathrm{a}}}} \right )\; \cdots [14]

近年流通している小型グローブ温度計（直径75mm又は40mmなど）や卓上測定器で式[14]をそのまま使うと、大きな測定誤差が生じるため、計算に注意が必要である。小型のものを使用する場合は、式[10]と式[12]を用いて直径Dを適切に設定して計算しましょう。

[1] ISO 7726:1998, Ergonomics of the thermal environment – Instruments for measuring physical quantities, 1998.【LINK】
[2] T. Bedford and C. G. Warner, The glove thermometer in studies of heating and ventilation, Journal of Hygiene, Volume 34, Issue 4, p.458-473, 1934.【DOI】

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]

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建物の開口部で生じる自然換気量は、下記の式[1]を用いて計算される。

Q = \alpha A\sqrt{\frac{2 \Delta P}{\rho}} \; \cdots \; [1]

ここで、Q [m³/s]は換気量、α [-]は流量係数、A [m²]は開口面積、ρ [kg/m³]は流体密度（空気の場合は、約1.2 kg/m³）、ΔP [Pa]は室内外圧力差である。

式[1]によると自然換気量は、室内外圧力差 ΔP（風圧差 ΔP_w か温度差 ΔT ）と、開口における流量係数 α（圧力損失係数 ξの平方根の逆数）に比例する形で計算される。以下では、流量係数 α、有効開口面積 αAについてそれぞれ概説し、風圧差 ΔP_wか温度差 ΔT によって発生する自然換気（風力換気／温度差換気）による自然換気量の計算法について説明する。

※ 多重開口ではなく、単一開口における自然換気量の計算法は計算原理が異なるため、下記のブログをご確認ください。
https://lee-lab.net/blog-contents-004

【1】流量係数（α）

空気が開口部を通過する際には、開口部の形状、材質、長さ、空気の流速などの要因により抵抗が生じ、その結果として空気の圧力が低下する。この現象は「圧力損失」と呼ばれる。この圧力損失の大きさを開口部を通過する気流速度（U_o）や密度（ρ）に依存しない形で比較するために、圧力損失（ΔP）を動圧（P_v）で割った無次元数が一般的に用いられる。これを「圧力損失係数」と呼び、式[2]に示すように 記号 ξ [-]で表される。

\xi = \frac{{\Delta}{P}}{P_{v}} = \frac{{\Delta}{P}}{ \frac{{1}}{{2}} \rho U_{o}^{2}} = \frac{{\Delta}{P}}{ \frac{{1}}{{2}} \rho \left ( {Q_{r}}/{A} \right )^{2}} \; \cdots \; [2]

ここで、P_v [Pa]は動圧、U_o [m/s]は開口部を通過する気流速度（代表速度）、Q_r [m³/s]は実際の流量または実測流量である。

一方、流量係数 αは、開口部を通過する実際の流量と、圧力損失がない理想状態で得られる理論流量と比（式[3]参照）として定義され、圧力損失係数 ξの平方根の逆数に相当する。

\alpha = \frac{{Q}_{r}}{A \sqrt {\frac{{2}\Delta{P}}{\rho}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{\xi}}} \; \cdots \; [3]

図1に、様々な開口部における典型的な流量係数を示す。例えば、通常の窓は0.6～0.7程度であるが、ベルマウス形状のように入口形状がスムーズな場合、流れの縮流や剥離が抑えられ、流量係数は概ね1となる。また、ルーバーが設置される場合はその角度によって圧力損失が変わるため、角度によって異なる。開き窓の場合、開き角度によって変わる流量係数を図2に示す。また、網戸、カーテン、ブラインドなどを使用する場合にも圧力損失が生じるため、適正な流量係数を計測して適用する必要がある。

図1. 開口部における流量係数

図2. 窓の開き角度による流量係数
(Calculated by Akane Tsutsumi et al. [PDF])

【2】有効開口面積（αA）

有効開口面積（αA）は開口配置によって並列合成と直列合成に分けて計算でき、それぞれ式[7]と式[11]で計算される。

① αA の並列合成

有効開口面積（αA）の並列合成は図3に示したものであり、開口部1と2の前後に作用する全圧P_Ta とP_Tb が等しいとしてαA_合値を計算する。

図3. αAの並列合成

Q_{1} = \alpha_{1} A_{1} \sqrt{ \frac{{2}{\Delta}{P}}{\rho} } \; \cdots \; [4]

Q_{2} = \alpha_{2} A_{2} \sqrt{ \frac{{2}{\Delta}{P}}{\rho} } \; \cdots \; [5]

\def\arraystretch{1.2}\begin{aligned} Q & = Q_{1}+Q_{2} \\\ &= (\alpha_{1} A_{1}+\alpha_{2} A_{2}) \sqrt{ \frac{{2}{\Delta}{P}}{\rho} }
\; \cdots \; [6]
\end{aligned} 

\alpha A_{合} = \alpha_{1} A_{1} + \alpha_{2} A_{2}  \; \cdots \; [7]

② αA の直列合成

有効開口面積（αA）の直列合成は図4に示したものであり、開口部1と2を通過する風量 Q が等しいとして αA_合値を計算する。

図4. αA の直列合成

Q = \alpha_{1} A_{1} \sqrt{ \frac{{2}{\Delta}{P_{a} }}{\rho} } = \alpha_{2} A_{2} \sqrt{ \frac{{2}{\Delta}{P_{b} }}{\rho} } \; \cdots \; [8]

\def\arraystretch{1.5}\begin{aligned}
\Delta P & = \Delta P_{a} + \Delta P_{b} \\
& = \frac{1}{2} \rho \left(\frac{Q}{\alpha_{1} A_{1}} \right)^{2} +  \frac{1}{2} \rho \left(\frac{Q}{\alpha_{2} A_{2}} \right)^{2}
\; \cdots \; [9]
\end{aligned}

Q =\frac{1}{\sqrt {\left(\frac{1}{\alpha_{1} A_{1}} \right)^{2} + \left(\frac{1}{\alpha_{2} A_{2}} \right)^{2}}} \sqrt{ \frac{{2}{\Delta}{P}}{\rho} }  \; \cdots \; [10]

\alpha A_{合} = \frac{1}{\sqrt {\left(\frac{1}{\alpha_{1} A_{1}} \right)^{2} + \left(\frac{1}{\alpha_{2} A_{2}} \right)^{2}}} \; \cdots \; [11]

【3】風力換気

建物に風が吹き付けると、大気圧に風圧力が加算されて作用する。図5に示すように風上側に掛かって来る風圧 P_w [Pa]は、基準風速 （軒高風速が基準）U [m/s]と風圧係数 C_w [-]を用いて式[12]で計算される。

図5. 風力による圧力差

P_{\mathrm{w}} = C_{\mathrm{w}}\frac{1}{2}\rho_{\mathrm{o}}U^{2} \; \cdots \; [12]

ここで、P_w [Pa]は風圧、C_w [-]は風圧係数、ρ_o [kg/m³]は外気密度、U [m/s]は基準風速である。

開口部がある建物に風が吹き付けると、図6に示すように風上側に掛かって来る風圧 P_w1 [Pa]と風下側の風圧 P_w2 [Pa]の差 ΔP [Pa]は、基準風速 U [m/s]と風圧係数 C_w1 [-]と C_w2 [-]の差 (C_w1 – C_w2) [-]を用いて式[13]で計算できる。

図6. 風力による圧力差

\Delta P = \left ( C_{\mathrm{w1}}-C_{\mathrm{w2}} \right )\frac{1}{2}\rho_{\mathrm{o}}U^{2} \; \cdots \; [13]

ここで、ΔP [Pa]は風圧P_w1 [Pa]と風圧P_w2 [Pa]の差圧、C_w1 [-]は風上側の風圧係数、C_w2 [-]は風下側の風圧係数、ρ_o [kg/m³]は外気密度、U [m/s]は基準風速である。

式[13]を式[1]に代入して整理すると、風力による換気量 Qは式[14]で計算できる。

Q = \alpha A_{合} \cdot U \cdot \sqrt{C_{\mathrm{w1}}-C_{\mathrm{w2}} } \; \cdots \; [14]

一方、風圧係数は実測、模型を用いた風洞実験（図7参照）によって測定値を用いるか、それとも推定式、CFD解析などによる計算値を使う場合もある。図8、図9にAkinsら（1979）¹が高層ビルを対象として行った風洞実験の壁面、屋根面の結果値を示し、図10には低層ビルに対してSwamiら（1987）²が報告した風圧係数を示す。

図7. 模型を用いた風洞実験による風圧係数

図8. 壁面における風圧係数（Akins et al.）

図9. 屋根面における風圧係数（Akins et al.）

図10. 壁面における風圧係数（Swami et al.）

また、Walkerら（1994）³は、風の風向角による風圧係数の推定式を式[15]のように提案している。

\def\arraystretch{1.5}\begin{aligned}
{C}_{\textrm{p}}(\phi) = & 1/2 \{ [{{C}_{\textrm{p}}(1)}+{{C}_{\textrm{p}}(2)}](cos^{2}\phi)^{1/4} \\\ 
& +
[{{C}_{\textrm{p}}(1)}-{{C}_{\textrm{p}}(2)}](cos\phi)^{3/4} \\\ 
& +
[{{C}_{\textrm{p}}(3)}+{{C}_{\textrm{p}}(4)}](sin^{2}\phi)^{2} \\\ 
& +
[{{C}_{\textrm{p}}(3)}-{{C}_{\textrm{p}}(4)}]sin\phi \}
\end{aligned}
 \; \cdots \; [15]

ここで、C_p(1) は風向0°での風圧係数、C_p(2) は風向180°での風圧係数、C_p(3) は風向90°での風圧係数、C_p(4) は風向270°での風圧係数、φ は壁面に対して時計回り風向角である。

【4】温度差換気

図11に示すように、建物において上下2か所に開口部があり、室内温度が室外温度よりも高い場合、室内では上昇気流が生じる。この現象を温度差換気（stack ventilation）と呼び、その換気量は以下の式[16]で室内外圧力差を求め、式[1]に代入することで算出できる。

\Delta P = \Delta \rho g h  \; \cdots \; [16]

ここで、ΔP [Pa]は開口部1における風圧P₁ [Pa]と開口部2における風圧P₂ [Pa]の差圧、Δρ [kg/m³]は室外の空気密度ρ_o [kg/m³]と室内の空気密度ρ_i [kg/m³]の密度差、g [m/s²]は重力加速度、h [m]は開口間の高さである。

図11. 温度差による圧力差

式[16]における室内外密度差Δρは、式[17]に示すシャルル法則（Charles’ law）によって室外温度T_i [K]と室内外温度差ΔT [K]に変換でき、式[18]のように表される。

\rho_{\mathrm{o}} T_{\mathrm{o}} =  \rho_{\mathrm{i}} T_{\mathrm{i}} \; \cdots \; [17]

\begin{aligned}
\Delta \rho & = \rho_{\mathrm{o}} - \rho_{\mathrm{i}} = \rho_{\mathrm{o}} - \frac{\rho_{\mathrm{o}}T_{\mathrm{o}}}{T_{\mathrm{i}}} \\\ 
& = \frac{\rho_{\mathrm{o}}(T_{\mathrm{i}} - T_{\mathrm{o}})}{T_{\mathrm{i}}}  = \frac{\rho_{\mathrm{o}}\Delta T}{T_{\mathrm{i}}} \; \cdots \; [18]
\end{aligned}

ここで、ΔT [K]は室内温度T_i [K]と室外温度T_o [K]の室内外温度差である。

式[18]を式[16]に代入して整理すると、室内外温度差ΔTによる室内外圧力差ΔPは式[19]のように表される。

\Delta P = \Delta \rho g h  = \frac{\rho_{\mathrm{o}}\Delta Tgh}{T_{\mathrm{i}}} \; \cdots \; [19]

式[19]を式[1]に代入して整理すると、室内外温度差ΔTによる換気量 Qは式[20]のようになる。

Q = \alpha A_{合} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \Delta Tgh}{T_{\mathrm{i}}} } \; \cdots \; [20]

※ 開口部が一箇所の建物では開口部での大気基準圧は0となり、それ以上では正圧（図12参照）となる。ここで大気基準圧とは、同一高度の大気圧を基準とした圧力表示を大気基準圧と言う。

図12. 開口部が一箇所の建物

また、上部にも開口部ができると、上部では正圧、下部では負圧となる分布が形成され、上部で室空気が流出し、下部から流入（図13参照）する。

図13. 開口部が二箇所の建物

一方、中性帯の高さは、開口部の有効開口面積（αA）が同じであれば中立位置に形成されるが、開口部の有効開口面積が異なるとαAが大きい方（図14参照）に近づく。

図14. 開口部の有効開口面積（αA）と中性帯高さの関係

一方、温度差換気において、開口部における圧力損失の計算（式[1]）に用いる密度（ρ）は、厳密には開口部ことに異なる密度（ρ_iやρ_o）を用いるべきだが、実務や教育現場では簡略化の一環として室内外で区分せず、ρ ≈ ρ_oと仮定すること（式[21]参照）が一般的である。これは、室内外の温度差（ΔT）が小さい範囲では室内外の密度差（Δρ）も小さく、換気量の計算精度に大きな影響を与えないためである。

Q = \alpha A_{合} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \textcolor{red}{\Delta \rho}  gh}{\textcolor{red}{\rho_{\mathrm{o}}} } }  \approx  \alpha A_{合} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \Delta Tgh}{T_{\mathrm{i}}} } \; \cdots \; [21]

室内外の密度差（Δρ/ρ_o）それとも室内外の温度差（ΔT/T_o）が大きい時に発生する換気量の誤差を推定するためには、以下に示す簡単な計算から推定可能である。

図15に示すように2つの開口部（αA）を持つ建物における温度差のみの自然換気を考える。

図15. 温度差による圧力差

この場合、連続の式は式[22]と示され、各開口部における風量はそれぞれ式[23]、式[24]から求められる。

\rho_{\mathrm{o}} Q_{\mathrm{1}}' + \rho_{\mathrm{i}} Q_{\mathrm{2}}' = 0 \; \cdots \; [22]

Q_{\mathrm{1}}' = \alpha A \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \Delta P_{\mathrm{1}}}{\rho_{\mathrm{o}}} } \; \cdots \; [23]

Q_{\mathrm{2}}' = \alpha A \cdot \sqrt{\frac{-2 \cdot \Delta P_{\mathrm{2}}}{\rho_{\mathrm{i}}} } \; \cdots \; [24]

ここで、ΔP₁、ΔP₂は各開口部がある高さz₁、z₂における圧力差であり、以下の式[25]、式[26]のように表される。

\Delta P_{\mathrm{1}} = \Delta P_{\mathrm{o}} - \Delta \rho g z_{\mathrm{1}} \; \cdots \; [25]

\Delta P_{\mathrm{2}} = \Delta P_{\mathrm{o}} - \Delta \rho g z_{\mathrm{2}} \; \cdots \; [26]

ここで、Δρ ≡ ρₒ – ρᵢである。

換気量の誤差を推定するために、以上の関係から式を纏めて整理すると、各開口部における風量はそれぞれ式[27]、式[28]のように表される。

Q_{\mathrm{1}}' = \alpha A \cdot \sqrt{\frac{\Delta \rho g h}{\rho_{\mathrm{o}}} } \sqrt{ \frac{2 \cdot \rho_{\mathrm{i}} } {(\rho_{\mathrm{o}} + \rho_{\mathrm{i}})} } \; \cdots \; [27]

Q_{\mathrm{2}}' = \alpha A \cdot \sqrt{\frac{\Delta \rho g h}{\rho_{\mathrm{o}}} } \sqrt{ \frac{2 \cdot \rho_{\mathrm{i}}^2 } {\rho_{\mathrm{i}}(\rho_{\mathrm{o}} + \rho_{\mathrm{i}})} } \; \cdots \; [28]

室内外の空気密度が等しい（ρ_i = ρ_o）と仮定した場合の換気量は、以下の式[29]のように簡略化されるため、その誤差を表す誤差比は式[30]、式[31]のようになる。

Q_{\mathrm{1}} = Q_{\mathrm{2}} = \alpha A \cdot \sqrt{\frac{\Delta \rho g h}{\rho_{\mathrm{o}}} }  \; \cdots \; [29]

\frac{Q_{\mathrm{1}}}{Q_{\mathrm{1}}'} = \sqrt{\frac{1}{2} \left ( \frac{\rho_{\mathrm{o}}}{\rho_{\mathrm{i}}}+1 \right )}  \; \cdots \; [30]

\frac{Q_{\mathrm{2}}}{Q_{\mathrm{2}}'} = \sqrt{\frac{1}{2} \frac{\rho_{\mathrm{o}}}{\rho_{\mathrm{i}}} \left ( 1 + \frac{\rho_{\mathrm{i}}}{\rho_{\mathrm{o}}} \right )}  \; \cdots \; [31]

例えば、Δρ/ρ_o=0.25（即ち、ρ_o/ρ_i=1.33）のように室内外の密度差が大きい場合（室内外温度差：約70°C）でもQ₁/Q₁’=1.08、Q₂/Q₂’=1.08となり、換気量の誤差は10%未満⁴に抑えられる。

以上のことより、温度差換気量の計算において、室内外の空気密度の違いを考慮することは理論的には重要であるが、通常の温度差範囲では換気量への影響は小さく、実務上は密度を一様とする近似でも十分な精度が得られる。したがって、式[20]のような簡略化手法は、合理的なアプローチであると言える。

★ 以上の自然換気量の計算法に基づき、例題を解くことで深く学習したい方は下記のブログをご確認ください。
https://lee-lab.net/blog-contents-005

[1] Akins, R.E., J.A. Peterka, and J.E. Cermak. 1979. Averaged pressure coefficients for rectangular buildings. Wind Engineering: Proceedings of the Fifth International Conference, vol. 7, pp. 369-380.【PDF LINK】
[2] Swami, M.V., and S. Chandra. 1987. Procedures for calculating natural ventilation airflow rates in buildings. Final Report FSEC-CR-163-86. Florida Solar Energy Center, Cape Canaveral.【PDF LINK】
[3] Walker, I.S., and D.J. Wilson. 1994. Practical methods for improving estimates of natural ventilation rates. Proceedings of the 15th IEA Conference of the Air Infiltration and Ventilation Centre, Buxton, U.K., pp. 517-526.【PDF LINK】
[4] Poreh, M., and Hassid, S. 1982. Simulation of buoyancy and wind induced ventilation. Proceedings of the International Workshop on Wind Tunnel Modelling for Civil Engineering Applications, Gaithersburg, MD, Cambridge University Press, Cambridge.【PDF LINK】

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]

投稿 自然換気量の計算法 [多重開口の場合] は BUILDING PHYSICS RESEARCH GROUP™ に最初に表示されました。

【1】パルス（pulse）法

\overline{\tau_{\mathrm{p}}} = \frac{\int_{0}^{\infty }t\cdot C_{\mathrm{p}}(t)dt}{\int_{0}^{\infty }C_{\mathrm{p}}(t)dt} \; \cdots \; [1]

ここで、τ_P [s]は局所平均空気齢、t [s]は時間、C_p(t ) [m³/m³]は時間 t の点 P でのトレーサー濃度である。

【2】ステップアップ（step-up）法

\overline{\tau_{\mathrm{p}}} = \int_{0}^{\infty }\frac{C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{p, up}}(t)}{C_{\mathrm{s}}}dt \; \cdots \; [2]

ここで、C_s [m³/m³]は給気口からのトレーサー濃度、C_p,up(t ) [m³/m³]はステップアップ（step-up）法における時間 t の点 P でのトレーサー濃度である。

【3】ステップダウン（step-down）法

\overline{\tau_{\mathrm{p}}} = \int_{0}^{\infty }\frac{t\cdot C_{\mathrm{p, dn}}(t)}{C(0)}dt \; \cdots \; [3]

ここで、C_p,dn(t ) [m³/m³]はステップダウン（step-down）法における時間 t の点 P でのトレーサー濃度、C (0) [m³/m³]は室内のトレーサー初期濃度である。

それでは、空間全体の平均空気齢＜τ＞は、どうやって求めるのか？

※ 事前準備：公式の作成

一定濃度のトレーサーガス供給を行う室空間の空間平均濃度の時系列変化は、式[4]が成立し、式[5]としても表すことができる。

V\frac{d \left< C\right>}{dt} = C_{\mathrm{s}}Q-C_{\mathrm{e}}(t)Q \; \cdots \; [4]

ここで、V [m³]は室容積、t [s]は時間、＜C ＞ [m³/m³]は室平均トレーサー濃度、C_s [m³/m³]は給気口からのトレーサー濃度、C_e(t ) [m³/m³]は時間 t の排気口でのトレーサー濃度、Q [m³/s]は給気流量である。

\int_{0}^{\infty }t^{n+1}\cdot \frac{d \left< C\right>}{dt}dt = \frac{Q}{V}\int_{0}^{\infty }t^{n+1}\cdot \left ( C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{e}}(t) \right )dt \; \cdots \; [5]

▶ 部分積分（Integration by parts） \def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \left ( t^{n+1} \cdot F \right )' = \left ( n+1 \right )t^{n} \cdot F + t^{n+1} \cdot \frac{dF}{dt} \end{aligned}\end{array} よって、 \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} t^{n+1} \cdot \frac{dF}{dt}dt &= \left [t^{n+1}\cdot F \right ]_{0}^{\infty } -(n+1)\int_{0}^{\infty} t^{n} \cdot F dt \\\ &= F_{\infty}(n+1)\int_{0}^{\infty}t^{n}dt -(n+1)\int_{0}^{\infty} t^{n} \cdot F dt \\\ &= (n+1)\int_{0}^{\infty}t^{n} \cdot \left (F_{\infty} - F \right )dt \end{aligned}\end{array}

上記の部分積分の概念に扱った Fを＜C＞に置き換えて整理すると、式[6]が得られる。

\int_{0}^{\infty} t^{n+1} \cdot \frac{d \left< C \right>}{dt}dt = (n+1)\int_{0}^{\infty }t^{n} \cdot \left ( \left< C_{\mathrm{\infty}} \right>- \left< C \right> \right )dt \; \cdots \; [6]

よって、式[5]と式[6]から、式[7]のように整理することも可能である。

(n+1)\int_{0}^{\infty }t^{n} \cdot \left ( \left< C_{\mathrm{\infty}} \right>- \left< C \right> \right )dt = \frac{Q}{V}\int_{0}^{\infty }t^{n+1}\cdot \left ( C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{e}}(t) \right )dt \; \cdots \; [7]

【1】パルス（pulse）法

パルス（pulse）法の場合、給気口に短時間トレーサーガスを注入することで、C_s = 0、C_∞ = 0 である。また、n = 1としておいて式[7]を整理すると、式[8]が得られる。

\int_{0}^{\infty} t \cdot \left< C \right> dt = \frac{Q}{2V}\int_{0}^{\infty }t^{2} \cdot C_{\mathrm{e}}(t) dt \; \cdots \; [8]

よって、室内空間全体の平均空気齢は、式[9]で求められる。この式は、排気口のトレーサー濃度のみ測定することで、室内空間全体の平均空気齢が確認できることを意味する。

\left< \bar{\tau} \right> = \frac{Q}{2V} \cdot \frac{\int_{0}^{\infty }t^{2}\cdot C_{\mathrm{e}}(t)dt}{\int_{0}^{\infty }C_{\mathrm{e}}(t)dt} \; \cdots \; [9]

【2】ステップアップ（step-up）法

ステップアップ（step-up）法の場合、給気口に一定のトレーサーガスを注入することで、C_s = C_∞ である。また、n = 0としておいて式[7]を整理すると、式[10]が得られる。

\int_{0}^{\infty} \left ( C_{s} - \left< C \right> \right ) dt = \frac{Q}{V}\int_{0}^{\infty }t \cdot \left ( C_{s} - C_{\mathrm{e}}(t) \right ) dt \; \cdots \; [10]

よって、室内空間全体の平均空気齢は、式[11]で求められる。この式も、排気口のトレーサー濃度のみ測定することで、室内空間全体の平均空気齢が確認できることを意味する。

\left< \bar{\tau} \right> = \int_{0}^{\infty }\frac{C_{\mathrm{s}}-\left< C \right>}{C_{\mathrm{s}}}dt = \frac{Q}{V} \int_{0}^{\infty } t \cdot \frac{C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{e}}(t)}{C_{\mathrm{s}}}dt \; \cdots \; [11]

【3】ステップダウン（step-down）法

ステップダウン（step-down）法の場合、給気口にトレーサーガスを注入しないことで、C_s = 0、C_∞ = 0 である。また、n = 0としておいて式[7]を整理すると、式[12]が得られる。

\int_{0}^{\infty} \left< C \right> dt = \frac{Q}{V}\int_{0}^{\infty }t \cdot C_{\mathrm{e}}(t) dt \; \cdots \; [12]

よって、室内空間全体の平均空気齢は、式[13]で求められる。この式も、排気口のトレーサー濃度のみ測定することで、室内空間全体の平均空気齢が確認できることを意味する。

\left< \bar{\tau} \right> = \int_{0}^{\infty }\frac{\left< C \right>}{C(0)}dt = \frac{Q}{V} \int_{0}^{\infty } t \cdot \frac{C_{\mathrm{e}}(t)}{C(0)}dt \; \cdots \; [13]

以上のことを全て整理すると、表1のように纏めることができる。

表 1. 各種方法における空気齢の算出式

\def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned}\frac{\int_{0}^{\infty }t\cdot C_{\mathrm{p}}(t)dt}{\int_{0}^{\infty }C_{\mathrm{p}}(t)dt} \end{aligned}\end{array}

\def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned}\int_{0}^{\infty }\frac{C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{p, up}}(t)}{C_{\mathrm{s}}}dt \end{aligned}\end{array}

\def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned}\int_{0}^{\infty }\frac{t\cdot C_{\mathrm{p, dn}}(t)}{C(0)}dt \end{aligned}\end{array}

\def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned}\frac{Q}{2V} \cdot \frac{\int_{0}^{\infty }t^{2}\cdot C_{\mathrm{e}}(t)dt}{\int_{0}^{\infty }C_{\mathrm{e}}(t)dt} \end{aligned}\end{array}

\def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned}\frac{Q}{V} \int_{0}^{\infty } t \cdot \frac{C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{e}}(t)}{C_{\mathrm{s}}}dt \end{aligned}\end{array}

\def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned}\frac{Q}{V} \int_{0}^{\infty } t \cdot \frac{C_{\mathrm{e}}(t)}{C(0)}dt \end{aligned}\end{array}

ここで、t [s]は時間、C_p(t ) [m³/m³]は時間 t の点 P でのトレーサー濃度、C_s [m³/m³]は給気口からのトレーサー濃度、C_p,up(t ) [m³/m³]はステップアップ（step-up）法における時間 t の点 P でのトレーサー濃度、C_p,dn(t ) [m³/m³]はステップダウン（step-down）法における時間 t の点 P でのトレーサー濃度、C (0) [m³/m³]は室内のトレーサー初期濃度、C_e(t ) [m³/m³]は時間 t の排気口でのトレーサー濃度、V [m³]は室容積、Q [m³/s]は給気流量である。

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]

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ここで定義される局部不快感の許容値は、着衣量が0.5 ~ 0.7 clo（※ 1 clo = 0.155 m²·K/W）の軽装で、代謝量が1.0 ~ 1.3 met（※ 1 met = 58 W/m²）程度の静穩状態を想定したものであり、また、全身温令感が中立に近いという前提条件で定義されている。表1は、局所不快感のそれぞれの要因に対して予想される不満足者率を示したものであり、これら全てを同時に満たす必要がある。

【1】不均一放射（RADIANT TEMPERATURE ASYMMETRY）

部屋の各表面温度がそれぞれ異なる場合や、直達日射の影響により人体周囲の放射場は不均一となり、許容限界を超えると不快感を引き起こす。通常、特に天井が暖かい場合と、壁が冷たい場合に不快感が増す。放射の不均一性は、微小面放射温度のベクトル差を用いて表される。図1に暖かい天井（Ceiling Warmer than Floor）・冷たい天井（Ceiling Cooler than Floor）、暖かい壁（Wall Warmer than Air）・冷たい壁（Wall Cooler than Air）による不均一放射に対する不満足者率の関係を示す。暖かい壁面に関しては不快感が少なく、壁付きのパネルヒーターが有効であることがわかる。また頭寒足熱の言葉とおり、冷たい天井に関しても不快感は少ない。表2は、不均一放射の許容限界値を示したものである。

Fig 1. Local thermal discomfort caused by radiant asymmetry

【2】ドラフト（DRAFT）

夏期には、気流を増やすことによって涼感を得ることができるが、空調時における必要以上に強い気流は局所の不快を引き起こすものであり、ドラフト（draft）を生ずる。ドラフトとは、「望まれない局部気流」と定義される。平均風速、空気温度だけではなく、乱れの強さ、代謝量、着衣量がドラフトによる不快感に影響を与えることが指摘されている。

ドラフトによる予想不満足者率（Draft Rate, DR）は、下式より定義される。この値が表1に示した「< 20 %」になるようにしなければならない。室温設定が高めの環境下でパーソナル空調などを採用するような場合には、居住者が気流速度を制御することが可能となるため、気流速度の許容限界はこの限りではない。

\def\arraystretch{1.2}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \textrm{DR} = &\left \{ \left ( 34-t_{a} \right ) \times \left ( v-0.05 \right )^{0.62} \right \} \\\ &\times \left ( 0.37 \times v \times T_{u} + 3.14 \right ) \end{aligned}\end{array}

【3】上下温度分布（VERTICAL AIR TEMPERATURE DIFFERENCE）

屋室上部が高温で床近傍が低温になるような室内空気の温度成層は、熱的な不快感を生ずる。図2に、居室上部が高温で床近傍が低温になるような場合の上下温度分布による不満足者率を示す。温度成層が逆転することはまれであり、むしろその場合は居住者にとって快適な条件となる。
室内上下温度分布について、ASHRAE Standard 55-2017¹では在室者のくるぶしの高さと頭の高さの温度差が3 °C以内になることを推薦している。立位の状態では、くるぶしの高さが0.1 m、頭の高さが1.7 mということになる。椅座位の状態では、頭の高さは1.1 mである。室内上部からの温風による対流式暖房の場合には、上下の温度差が発現することが多いが、断熱・気密性能の高い居室であれば、冬期でもこの上下温度分布の推薦条件を満たすことができる。窓部で冷却された空気が床部に下降してくる現象（コールドドラフト）にも注意が必要である。

Fig 2. Local thermal discomfort caused by vertical temperature
differences

 【4】床温度（FLOOR SURFACE TEMPERATURE）

床表面温度が極端に高温あるいは低温である場合にも、局部の不快を引き起こす。靴を履いている居住者にとっては、床表面の仕上げ材の種類よりも床表面温度が特に重要である。ASHRAE Standard 55-2017では、室内の床温度は19 ~ 29 °Cの範囲（図3参照）とすることが推薦されている。これらの推薦値は、靴を履き、椅子に座ることを想定したものである。床暖房装置などがある家庭で床に直接座ったり寝たりする場合には、低温やけどの原因となるような体温よりも高い温度での使用は好ましくない。

Fig 3. Local thermal discomfort caused by warm and cool floors

[1] ANSI/ASHRAE Standard 55-2017 : Thermal environmental conditions for human occupancy, American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning Engineers, 2017.【LINK】

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]

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1気圧（1 atm）、20 °Cの環境で空気は、下記に示す物性値を持つ。

▶ 密度（Density, ρ）：1.204 [kg/m³]
▶ 比熱（Specific Heat, C_P）：1,007 [J/(kg·K)]
▶ 熱伝導率（Thermal Conductivity, k）：0.02514 [W/(m·K)]
▶ 熱拡散係数（Thermal Diffusivity, α）：2.074×10^-5 [m²/s]
▶ 粘性係数（Dynamic Viscosity, μ）：1.825×10^-5 [kg/(m·s)]
▶ 動粘性係数（Kinematic Viscosity, ν）：1.516×10^-5 [m²/s]
▶ 熱膨張係数（Thermal Expansion Coefficient, β）：0.00341 [1/K]
▶ プラントル数（Prandtl Number, Pr）：0.7309 [-]

空気の物性値は温度変化によって、下記に示すグラフのように変化していく。

一方、空気に関しましてやさしく解説しているお勧めの一般教養図書は、小原先生が執筆した「100万人の空気調和¹」である。興味のある方はぜひ、一読して見てください。

[1] 小原淳平：100万人の空気調和、オーム社、1975、ISBN: 978-4-274-08465-2.

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]

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1気圧（1 atm）、15 °C、高度 0 mの環境で空気は、下記に示す物性値を持つ。

▶ 圧力（Pressure, P）：101.33 [kPa]
▶ 重力加速度（Gravity, g）：9.807 [m/s²]
▶ 音速（Speed of Sound, c）：340.3 [m/s]
▶ 密度（Density, ρ）：1.225 [kg/m³]
▶ 粘性係数（Dynamic Viscosity, μ）：1.789×10^-5 [kg/(m·s)]
▶ 熱伝導率（Thermal Conductivity, k）：0.0253 [W/(m·K)]
▶ 動粘性係数（Kinematic Viscosity, ν）：1.460×10^-5 [m²/s]

空気の物性値は高度によって、下記に示すグラフのように変化していく。対流圏（troposphere）では、dT/dz = -0.65 K/mであること、覚えましょう。

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]

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図1. 強制対流による平板上の速度境界層・温度境界層

速度境界層（δ_x）は流速 U = 0.99∙U_∞ になる平板からの y 軸距離、温度境界層（δ_t）は温度差 T –T_s = 0.99∙(T_∞–T_s) となる平板からの y 軸距離として定義される。この境界層は層流流動（laminar flow）が乱流流動（turbulent flow）に変わるため、境界層近似と相似変数を用いて定常・非圧縮流動として検討すると、図1に示してような δ_x、δ_t になる。

一方、熱伝達率に影響を及ぼす因子はきわめて多いが、普通、相似則を適用した無次元関数式で表される。熱伝達における代表的な無次元数（ヌッセルト数 Nu、レイノルズ数 Re、グラスホフ数 Gr、プラントル数 Pr）を下記に示す。

\textrm{Nu} = \frac{h L}{k} \; \cdots [1]

\textrm{Re} = \frac{u L}{\nu} \; \cdots [2]

\textrm{Gr} = \frac{g \beta l^3 \Delta t}{\nu^2} \; \cdots [3]

\textrm{Pr} = \frac{\nu}{a} \; \cdots [4]

ここに、ヌッセルト数 Nu は「熱伝達による伝熱量／熱伝導による伝熱量」、レイノルズ数 Re は「慣性力／粘性力」、グラスホフ数 Gr は「浮力／粘性力」、プラントル数 Pr は「運動量の拡散速度／熱の拡散速度」を表す無次元関数である。また、h は熱伝達率 [W/(m²·K)]、L は代表寸法 [m]、k は流体の熱伝導率 [W/(m·K)]、u は代表速度 [m/s]、ν は動粘性 [m²/s]、g は重力加速度 [m/s²]、β は体膨張係数 [K^-1]、Δt は代表温度差 [K]、a は熱拡散率 [m²/s]である。

無次元関数式は一般に、強制対流では式[5]、自然対流では式[6]として表される。

\textrm{Nu} = f(\textrm{Re}, \textrm{Pr}) \; \cdots [5]

\textrm{Nu} = f(\textrm{Gr}, \textrm{Pr}) \; \cdots [6]

ただし、Nu には熱伝達率と同じく、局所値と平均値がある。局所値は熱伝達率h に局所熱伝達率 h_x を、平均値は平均熱伝達率 h_L を用いたものである。ここでは、局所ヌッセルト数（local Nusselt number）に対しては Nu_x を、平均ヌッセルト数（average Nusselt Number）に対しては Nu_L の記号を用いることにする。

平板における局所ヌッセルト数（local Nusselt number）及び平均ヌッセルト数（average Nusselt Number）は、平板に均一な温度条件を与えた場合と平板に均一な熱流束条件を与えた場合によって異なり¹、まとめて表すと下記のようになる。

【A】局所ヌセルト数（local Nusselt number）

(1) 平板に「温度固定条件」を与えた場合
平板に均一な温度を与えた場合は、式[7]、[8]に示した実験・経験式を利用する。

① 層流（0.60 < Pr、Re < 5.0×10⁵の場合）

\textrm{Nu}_{\textrm{x}} = \frac{h x}{k} = 0.332 \cdot \textrm{Re}_{\textrm{x}}^{1/2}  \cdot \textrm{Pr}_{\textrm{x}}^{1/3} \; \cdots [7]

② 乱流（0.60 ≤ Pr ≤ 60、5.0×10⁵ ≤ Re ≤ 10⁷の場合）

\textrm{Nu}_{\textrm{x}} = \frac{h x}{k} = 0.0296 \cdot \textrm{Re}_{\textrm{x}}^{0.8}  \cdot \textrm{Pr}_{\textrm{x}}^{1/3} \; \cdots [8]

(2) 平板に「熱流束固定条件」を与えた場合
平板に均一な熱流速を与えた場合は、式[9]、[10]に示した実験・経験式を利用する。

① 層流（0.60 < Pr、Re < 5.0×10⁵の場合）

\textrm{Nu}_{\textrm{x}} = \frac{h x}{k} = 0.453 \cdot \textrm{Re}_{\textrm{x}}^{1/2}  \cdot \textrm{Pr}_{\textrm{x}}^{1/3} \; \cdots [9]

② 乱流（0.60 ≤ Pr ≤ 60、5.0×10⁵ ≤ Re ≤ 10⁷の場合）

\textrm{Nu}_{\textrm{x}} = \frac{h x}{k} = 0.0308 \cdot \textrm{Re}_{\textrm{x}}^{0.8}  \cdot \textrm{Pr}_{\textrm{x}}^{1/3} \; \cdots [10]

また、全体平板における平均ヌッセルト数（average Nusselt number）は、局所ヌッセルト数を求める上記の式[7]~[10]を下記の式[11]に代入し、積分することにより求める。

h = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {h}_{\textrm{x}}dx \; \cdots [11]

【B】平均ヌセルト数（average Nusselt number）

(1) 平板に「温度固定条件」を与えた場合

① 層流（0.60 < Pr、Re < 5.0×10⁵の場合）

\overline{\textrm{Nu}_{\textrm{L}}} = \frac{\overline{h} L}{k} = 0.664 \cdot \textrm{Re}_{\textrm{L}}^{1/2}  \cdot \textrm{Pr}_{\textrm{x}}^{1/3} \; \cdots [12]

② 乱流（0.60 ≤ Pr ≤ 60、5.0×10⁵ ≤ Re ≤ 10⁷の場合）

\overline{\textrm{Nu}_{\textrm{L}}} = \frac{\overline{h} L}{k} = 0.0370 \cdot \textrm{Re}_{\textrm{L}}^{0.8}  \cdot \textrm{Pr}_{\textrm{x}}^{1/3} \; \cdots [13]

(2) 平板に「熱流束固定条件」を与えた場合

① 層流（0.60 < Pr、Re < 5.0×10⁵の場合）

\overline{\textrm{Nu}_{\textrm{L}}} = \frac{\overline{h} L}{k} = 0.906 \cdot \textrm{Re}_{\textrm{L}}^{1/2}  \cdot \textrm{Pr}_{\textrm{x}}^{1/3} \; \cdots [14]

② 乱流（0.60 ≤ Pr ≤ 60、5.0×10⁵ ≤ Re ≤ 10⁷の場合）

\overline{\textrm{Nu}_{\textrm{L}}} = \frac{\overline{h} L}{k} = 0.0385 \cdot \textrm{Re}_{\textrm{L}}^{0.8}  \cdot \textrm{Pr}_{\textrm{x}}^{1/3} \; \cdots [15]

[1] John H. Lienhard IV, John H. Lienhard V. : A heat transfer textbook, Fifth Edition, pp.302-312, 2020.

以上の内容を踏まえ、平板に沿って流れる強制対流に対して2次元CFD解析（Abe-Kondoh-Nagano低レイノルズ数型k-ε乱流モデル）を行い、平板においてのヌッセルト数と熱伝達率を求めた結果を簡単に紹介する。

長さ L = 1.0 m の平板に沿う流れを図2、3のように2次元CFD解析モデルを作成し、流速 U_∞ = 1.0 m/s、T_∞ = 23.0 、P_∞ = 101,325 Paの境界条件を与え、解析を行う。図2には平板に均一な温度を与えた場合、図3には平板に均一な熱流速を与えた場合であり、平板秒面における温度変化、熱流変化、Nu数の変化、熱伝達率の変化を求め、実験・経験式と比較する。

図2に示した平板に「均一な温度」を与えた場合におけるCFD解析結果を下図に示す。

また、図3に示した平板に「均一な熱流速」を与えた場合におけるCFD解析結果を下図に示す。

以上の解析結果について詳細な説明が必要な方は、李研究室にお問い合わせください。

二重窓に適用した外気導入型エアフローウィンドウの断熱性能及び表面結露発生有無に関する数値的研究
李時桓，加藤信介
日本建築学会環境系論文集，第79巻（第695号），pp.63-72，2014.01. (ISSN: 1348-0685(Print), 1881-817X(Online))
https://doi.org/10.3130/aije.79.63

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]

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【1】WBGTの計算式

WBGTは、乾球温度（t_a、気温）、自然換気状態の湿球温度（t_nwb、湿度）、グローブ温度（t_g、放射熱・気流）の3つの測定値をもとに算出される。また、周囲に太陽放射（直射日光）がある屋外と、日射のない室内で計算式を使い分けるのが特徴である。

① 屋外（太陽放射がある場所）での計算式

屋外（太陽放射がある場所）での計算では、式[1]^{1, 2}を用いて算出される。

\mathrm{WBGT}＝0.7t_{\mathrm{nwb}}+0.2t_{\mathrm{g}}+0.1t_{\mathrm{a}} \; \cdots [1]

ここに、WBGTはWBGT指数 [°C]、t_a は乾球温度 [°C]、t_nwb は自然換気状態の湿球温度 [°C]、 t_g はグローブ温度 [°C]である。

式で分かるように、グローブ温度 t_g は、空気温度、平均放射温度、気流速度に反応する反面、自然換気状態の湿球温度 t_nwb は、空気湿度、空気温度、平均放射温度、気流速度に反応する。つまり、WBGT指数は人体が熱ストレスに影響を受ける環境要因4項目の関数である。

★ 湿球温度への「0.7」の重み この数式から分かるように、WBGTは「湿球温度（湿度）」の影響を7割（0.7）という極めて高い割合で反映している。人間は汗を蒸発させることで体温を下げて調節しているため、湿度が高く汗が蒸発しにくい環境がいかに熱中症リスクを劇的に高めるかをこの数式は明確に物語っている。

※ 自然換気状態の湿球温度（tnwb） 通常の気象観測などで用いられる湿球温度（アスマン通風乾湿計など）は、ファンで強制的に一定の風を当てて測定する。しかし、WBGTで用いる「自然換気状態の湿球温度」は、あえて風を当てずにその場の自然な気流のまま測定する。これにより、無風・微風状態で汗が蒸発しにくくなるリアルな危険性を正確に評価できるようになっている。

② 室内または日陰（太陽放射がない場所）での計算式

密閉された室内や直射日光のない場所では、太陽の直接的な放射熱（式[1]で乾球温度 t_a の項）を排除し、グローブ温度 t_g に0.3の重みを付けた以下の単純化された式[2]が用いられる。

\mathrm{WBGT}＝0.7t_{\mathrm{nwb}}+0.3t_{\mathrm{g}} \; \cdots [2]

【2】国際規格と許容作業限界

WBGT指数は、産業環境やスポーツ環境における潜在的な熱ストレスを推定・管理するために幅広く使用³されている。アメリカのNIOSH（National Institute of Occupational Safety and Health）では熱ストレスに対する許容作業限界（NIOSH 1986⁴、図1参照）に関する基準を開発し、ISO 7243⁵として国際規格化されている。

図1. 許容作業限界（NIOSH 1986）

図1では、気候に順化した標準的な労働者（体重70 kg、体表面積1.8 m²）を対象とし、代謝率（作業の激しさ）や時間当たりの作業時間に応じたWBGTの許容限界値を示す。この値は一般の透過性衣服（0.6 clo）に適用するものであるが、それぞれの着衣量に対して加減する必要がある。例えば、アメリカの空軍（United States Air Force, USAF）では化学防護服、防弾服を着用した軍人に対して測定されたWBGT指数を6 [K]引き上げるように勧奨した。このような衣服は汗の蒸発に対する抵抗力を約3倍（完全不浸透性の場合はもっと高い）増加させ、WBGT指数を調整して皮膚からの蒸発冷却減少を補償しなければならない。

[1] Dukes-Dobos, F., and A. Henschel. : The modification of the WBGT index for establishing permissible heat exposure limits in occupational work, HEW/USPHE/NIOSH Report TR-69, 1971.
[2] Dukes-Dobos, F., and A. Henschel. : Development of permissible heat exposure limits for occupational work, ASHRAE Journal 9:57, 1973.
[3] Davis, W.J. : Typical WBGT indexes in various industrial environments, ASHRAE Transactions 82(2):303, 1976.
[4] NIOSH : Criteria for a recommended standard – Occupational exposure to hot environments, revised criteria, U.S. Dept. of Health and Human Services, USDHHS (NIOSH) Publication 86-113, 1986, Available from http://www.cdc.gov/NIOSH/docs/86-113/86-113.pdf
[5] ISO 7243 : Ergonomics of the thermal environment – Assessment of heat stress using the WBGT (wet bulb globe temperature) index, 2017.

【3】WBGT指数の歴史・限界

WBGT指数の歴史（History of WBGT）、限界（Limitations of WBGT）などについてはBudd⁶の文献をご参照ください。

[6] Grahame M. Budd : Wet-bulb globe temperature (WBGT) – its history and its limitations, Journal of Science and Medicine in Sports, Vol 11, Issue 1, p.20-32, 2008. (DOI : https://doi.org/10.1016/j.jsams.2007.07.003)

【4】日本における規格化と最新の取り組み

日本には、国際規格に合わせて日本産業標準として1999年に規格化（JIS Z 8504⁷）された。また、環境省⁸では、このWBGT指数を一般向けに「暑さ指数」と称して、リアルタイムの情報提供を行っている。さらに、近年の深刻な温暖化と猛暑に対応するため、気象庁と環境省が連携して以下のような警戒アラートを運用している。

・熱中症警戒アラート：WBGT指数が33°C以上になると予測された場合に発表（2020年7月からは関東甲信地方のみ、2021年から全国展開）。

・熱中症特別警戒アラート：過去に例のない広範な猛暑による重大な健康被害を防ぐため、2024年から新設。広域的にWBGT指数が35°C以上に達すると予測される場合に発表され、自治体が指定する「クーリングシェルター（指定暑熱避難施設）」の開放など、一段上の厳格な熱中症予防行動が求められる。

[7] JIS Z 8504 : 人間工学 – WBGT（湿球黒球温度）指数に基づく作業者の熱ストレスの評価 – 暑熱環境、1999.
[8] 環境省：熱中症予防情報サイト、http://www.wbgt.env.go.jp

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]

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室内にある汚染質の総量に影響する要素は「① 室内に流入する汚染質量」、「② 室内から流出する汚染質量」、「③ 室内空気汚染質の発生量」であり、その物質収支、又は体積バランスを考えることで検討できる。

図1. 汚染質の体積バランス

図1に示す室内を一つの系として考え、室内の汚染質総量 CV [m³]の変化量である d(CV )、又はVdC に影響する要素を分類化すると、① 流入空気による輸送（+C_oQdt ）、② 流出空気による輸送（-CQdt ）、③ 内部発生（+Mdt ）に分けることができる。室内に入ったあるいは室内で発生した汚染質は瞬時に室内空気と完全混合するものと仮定（瞬時一様拡散）し、この体積バランスを整理すると、式[1]、[2]のような非定常濃度方程式が得られる。

室内にある汚染質の総量（dCV ）
=
+ 室内に流入する汚染質量（+ C_oQdt ）
– 室内から流出する汚染質量（- CQdt ）
+ 室内空気汚染質の発生量（+ Mdt ）

\begin{aligned}
VdC  &=  Mdt + C_{\mathrm{o}}Qdt - CQdt &\cdots \; [1] \\\ 
&= Bdt - CRdt &\cdots \; [2]
\end{aligned}

ここで、B は室内汚染質濃度を高めようとする項の和であり、CR は汚染質濃度を低めようとする項の和である。

1階微分方程式である式[1]、[2]を変数分離を行って解くと、式[3]、[4]が得られる。

\begin{aligned}
C_{\mathrm{t}} &= C_{\mathrm{o}}+(C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{o}})e^{-\frac{Q}{V}t}+\frac{M}{Q}\cdot (1-e^{-\frac{Q}{V}t})  \\\ 
&= (C_{\mathrm{s}}-\frac{M+C_{\mathrm{o}}Q}{Q})e^{-\frac{Q}{V}t} + \frac{M+C_{\mathrm{o}}Q}{Q} &\cdots \; [3] \\\ 
&= (C_{\mathrm{s}}-\frac{B}{R})e^{-\frac{R}{V}t} + \frac{B}{R} &\cdots \; [4]
\end{aligned}

時間が十分経過した後の平衡状態での室内濃度は、式[3]、[4]の時間 t を無限大にすることにより、式[5]、[6]で表すことができる。

\begin{aligned}
C_{\mathrm{\infty}} &= \frac{M}{Q}+C_{\mathrm{o}} &\cdots \; [5] \\\ 
&=\frac{B}{R} &\cdots \; [6]
\end{aligned}

【1】換気システム＜A＞

換気システム＜A＞（図2参照）は、室内への給気はすべて外気であり、排気はすべて外へ出すという最も簡単な場合である。一般住宅で窓を開けることによる換気は、この換気システムに入る。

図2. 換気システム＜A＞

換気システム＜A＞における物質収支は下記のように表すことができ、B とR は式[7]、[8]、時間が十分経過した後の平衡状態での室内濃度は式[9]で計算できる。
① 流入空気による輸送：+ C_oQ_odt
② 流出空気による輸送：- CQ_odt
③ 内部発生：+ Mdt

\begin{aligned}
B &= M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}} &\cdots \; [7] \\\ 
R &= Q_{\mathrm{o}} &\cdots \; [8]
\end{aligned}

\begin{aligned}
C_{\mathrm{\infty}} &= \frac{B}{R} =  \frac{M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}}{Q_{\mathrm{o}}} \; \cdots \; [9]
\end{aligned}

【2】換気システム＜B＞

換気システム＜B＞（図3参照）は、室内からのかなりの部分を再循環させ、外気と再循環空気はエアーフィルタを通してから室内に供給するもので、事務所などで見られる換気システムである。

図3. 換気システム＜B＞

ここで、エアーフィルタによる汚染質低減効果はエアーフィルタの捕集率をE としておけば、図4に示すように通過汚染質量をCQ (1-E ) として扱うことができる。

図4. エアーフィルタによる汚染質低減効果

換気システム＜B＞における物質収支は下記のように表すことができ、B とR は式[10]、[11]、時間が十分経過した後の平衡状態での室内濃度は式[12]で計算できる。
① 流入空気による輸送：+ C_oQ_o(1-E_r )dt + CQ_r(1-E_r )dt 
② 流出空気による輸送：- CQ_odt – CQ_rdt
③ 内部発生：+ Mdt

\begin{aligned}
B &= M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}(1-E_{\mathrm{r}}) &\cdots \; [10] \\\ 
R &= Q_{\mathrm{o}} + Q_{\mathrm{r}}E_{\mathrm{r}} &\cdots \; [11]
\end{aligned}

\begin{aligned}
C_{\mathrm{\infty}} &= \frac{B}{R} =  \frac{M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}(1-E_{\mathrm{r}})}{Q_{\mathrm{o}}+Q_{\mathrm{r}}E_{\mathrm{r}}} \; \cdots \; [12]
\end{aligned}

【3】換気システム＜C＞

換気システム＜C＞（図5参照）は、外気を取り入れる時、外気中の粉じん、汚染質などをあらかじめプレフィルタで除去しておくもので、ほとんどの事務所やビルではこの換気システムを用いている。

図5. 換気システム＜C＞

換気システム＜C＞における物質収支は下記のように表すことができ、B とR は式[13]、[14]、時間が十分経過した後の平衡状態での室内濃度は式[15]で計算できる。
① 流入空気による輸送：+ C_oQ_o(1-E_i )(1-E_r )dt + CQ_r(1-E_r )dt 
② 流出空気による輸送：- CQ_odt – CQ_rdt
③ 内部発生：+ Mdt

\begin{aligned}
B &= M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}(1-E_{\mathrm{i}})(1-E_{\mathrm{r}}) &\cdots \; [13] \\\ 
R &= Q_{\mathrm{o}} + Q_{\mathrm{r}}E_{\mathrm{r}} &\cdots \; [14]
\end{aligned}

\begin{aligned}
C_{\mathrm{\infty}} &= \frac{B}{R} =  \frac{M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}(1-E_{\mathrm{i}})(1-E_{\mathrm{r}})}{Q_{\mathrm{o}}+Q_{\mathrm{r}}E_{\mathrm{r}}}  \; \cdots \; [15]
\end{aligned}

【4】換気システム＜D＞

換気システム＜D＞（図6参照）は、外気との空気交換は行わず、室内に設置した空気清浄機のみで換気効果を狙っているシステムである。

図6. 換気システム＜D＞

換気システム＜D＞における物質収支は下記のように表すことができ、B とR は式[16]、[17]、時間が十分経過した後の平衡状態での室内濃度は式[18]で計算できる。
① 流入空気による輸送：+ CQ_c(1-E_c )dt 
② 流出空気による輸送：- CQ_cdt
③ 内部発生：+ Mdt

\begin{aligned}
B &= M &\cdots \; [16] \\\ 
R &= Q_{\mathrm{c}}E_{\mathrm{c}} &\cdots \; [17]
\end{aligned}

\begin{aligned}
C_{\mathrm{\infty}} &= \frac{B}{R} =  \frac{M}{Q_{\mathrm{c}}E_{\mathrm{c}}} \; \cdots \; [18]
\end{aligned}

【5】換気システム＜E＞

換気システム＜E＞（図7参照）は、換気システム＜B＞の室内に空気清浄機を設置した場合である。

図7. 換気システム＜E＞

換気システム＜E＞における物質収支は下記のように表すことができ、B とR は式[19]、[20]、時間が十分経過した後の平衡状態での室内濃度は式[21]で計算できる。
① 流入空気による輸送：+ C_oQ_o(1-E_r )dt + CQ_r(1-E_r )dt + CQ_c(1-E_c )dt 
② 流出空気による輸送：- CQ_odt – CQ_rdt – CQ_cdt
③ 内部発生：+ Mdt

\begin{aligned}
B &= M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}(1-E_{\mathrm{r}}) &\cdots \; [19] \\\ 
R &= Q_{\mathrm{o}} + Q_{\mathrm{r}}E_{\mathrm{r}} + Q_{\mathrm{c}}E_{\mathrm{c}}  &\cdots \; [20]
\end{aligned}

\begin{aligned}
C_{\mathrm{\infty}} &= \frac{B}{R} =  \frac{M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}(1-E_{\mathrm{r}})}{Q_{\mathrm{o}}+Q_{\mathrm{r}}E_{\mathrm{r}}+Q_{\mathrm{c}}E_{\mathrm{c}} } \; \cdots \; [21]
\end{aligned}

【6】換気システム＜F＞

換気システム＜F＞（図8参照）は、換気システム＜C＞の室内に空気清浄機を設置した場合である。

図8. 換気システム＜F＞

換気システム＜F＞における物質収支は下記のように表すことができ、B とR は式[22]、[23]、時間が十分経過した後の平衡状態での室内濃度は式[24]で計算できる。
① 流入空気による輸送：+ C_oQ_o(1-E_i )(1-E_r )dt + CQ_r(1-E_r )dt + CQ_c(1-E_c )dt 
② 流出空気による輸送：- CQ_odt – CQ_rdt – CQ_cdt
③ 内部発生：+ Mdt

\begin{aligned}
B &= M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}(1-E_{\mathrm{i}})(1-E_{\mathrm{r}}) &\cdots \; [22] \\\ 
R &= Q_{\mathrm{o}} + Q_{\mathrm{r}}E_{\mathrm{r}} + Q_{\mathrm{c}}E_{\mathrm{c}}&\cdots \; [23]
\end{aligned}

\begin{aligned}
C_{\mathrm{\infty}} &= \frac{B}{R} =  \frac{M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}(1-E_{\mathrm{i}})(1-E_{\mathrm{r}})}{Q_{\mathrm{o}}+Q_{\mathrm{r}}E_{\mathrm{r}}+Q_{\mathrm{c}}E_{\mathrm{c}}} \; \cdots \; [24]
\end{aligned}

【7】換気システム＜G＞

換気システム＜G＞（図9参照）は、換気システム＜F＞の室内にすきま風も考慮した換気システムである。

図9. 換気システム＜G＞

換気システム＜G＞における物質収支は下記のように表すことができ、B とR は式[25]、[26]、時間が十分経過した後の平衡状態での室内濃度は式[27]で計算できる。
① 流入空気による輸送：+ C_oQ_o(1-E_i )(1-E_r )dt + CQ_r(1-E_r )dt + CQ_c(1-E_c )dt + C_oQ_ndt 
② 流出空気による輸送：- CQ_odt – CQ_rdt – CQ_cdt – CQ_ndt
③ 内部発生：+ Mdt

\begin{aligned}
B &= M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}(1-E_{\mathrm{i}})(1-E_{\mathrm{r}})+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{n}} &\cdots \; [25] \\\ 
R &= Q_{\mathrm{o}} + Q_{\mathrm{r}}E_{\mathrm{r}} + Q_{\mathrm{c}}E_{\mathrm{c}} +Q_{\mathrm{n}} &\cdots \; [26]
\end{aligned}

\begin{aligned}
C_{\mathrm{\infty}} &= \frac{B}{R} =  \frac{M+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{o}}(1-E_{\mathrm{i}})(1-E_{\mathrm{r}})+C_{\mathrm{o}}Q_{\mathrm{n}}}{Q_{\mathrm{o}}+Q_{\mathrm{r}}E_{\mathrm{r}}+Q_{\mathrm{c}}E_{\mathrm{c}}+Q_{\mathrm{n}}} \; \cdots \; [27]
\end{aligned}

[1] 石津嘉昭：室内空気汚染物の濃度式ならびに低減法についての一考察、空気調和・衛生工学会 論文集、6巻、17号、p.93-97、1981.
https://doi.org/10.18948/shase.6.17_93

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]

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