空間全体の平均空気齢
2022-02-16空間全体の平均空気齢（mean age of air）はどうやって求められるのか？と言う単純な質問に対する回答をご紹介したいと思います。空気齢の測定法は、① パルス（pulse）法、② ステップアップ（step-up）法、③ ステップダウン（step-down）法に分けられており、それぞれの測定法から測定される局所平均空気齢 τpは、式[1]~[3]によって求められる。
【1】パルス（pulse）法
\overline{\tau_{\mathrm{p}}} = \frac{\int_{0}^{\infty }t\cdot C_{\mathrm{p}}(t)dt}{\int_{0}^{\infty }C_{\mathrm{p}}(t)dt} \; \cdots \; [1]ここで、τP [s]は局所平均空気齢、t [s]は時間、Cp(t ) [m3/m3]は時間 t の点 P でのトレーサー濃度である。
【2】ステップアップ（step-up）法
\overline{\tau_{\mathrm{p}}} = \int_{0}^{\infty }\frac{C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{p, up}}(t)}{C_{\mathrm{s}}}dt \; \cdots \; [2]ここで、Cs [m3/m3]は給気口からのトレーサー濃度、Cp,up(t ) [m3/m3]はステップアップ（step-up）法における時間 t の点 P でのトレーサー濃度である。
【3】ステップダウン（step-down）法
\overline{\tau_{\mathrm{p}}} = \int_{0}^{\infty }\frac{t\cdot C_{\mathrm{p, dn}}(t)}{C(0)}dt \; \cdots \; [3]ここで、Cp,dn(t ) [m3/m3]はステップダウン（step-down）法における時間 t の点 P でのトレーサー濃度、C (0) [m3/m3]は室内のトレーサー初期濃度である。
それでは、空間全体の平均空気齢＜τ＞は、どうやって求めるのか？
※ 事前準備：公式の作成（モーメント整理の導出）
室内空間船体の平均空気齢を求めるために「一般的なモーメント整理」を流体力学の基本的な物質収支式から導き出す。
室内の体積をV [m3]、換気量をQ [m3/s]、時間をt [s]、給気濃度をCs [m3/m3]、排気口濃度をCe(t ) [m3/m3]、室内全体の平均濃度を＜C ＞ [m3/m3]とすると、室内のトレーサーガスの質量の変化量は以下の式[4]のようになる。
V\frac{d \left< C\right>}{dt} = Q\cdot C_{\mathrm{s}}-Q\cdot C_{\mathrm{e}}(t)\; \cdots \; [4]両辺を室内の体積をVで割って整理すると式[5]のように表せる。
\frac{d \left< C\right>}{dt} = \frac{Q}{V}(C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{e}}(t))\; \cdots \; [5]ここで、後で行う積分を無電大時間（t → ∞）で確実にゼロに収束させるため、定常状態の最終濃度C∞を用いて左辺を微小変形（C∞は定数であり、dC∞/dt=0なので、数学的に値は変わらない。）すると式[6]のような形となる。
\frac{d \left< C\right>}{dt} = \frac{Q}{V}(C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{e}}(t))\; \cdots \; [6]単なる「濃度の収支」を示す式[6]から、最終的に知りたい「時間（空気齢）」の情報を抽出するためには、数学的な操作を加える必要がある。要するに、濃度の推移データから「平均時間」などの時間的特性（モーメント）を導き出すには、データに時間の重み付けを行い、最初から最後まで全て足し合わせる（t =0から∞まで積分する）というプロセスが不可欠である。これがモーメント変換の核心となる。
ここで、モーメントの次数（抽出したい時間特性の次元）を表す任意の定数n（n = 0, 1, 2, …）を導入する。このnを用いて、両辺にt n+1を掛けて、t =0からt =∞まで積分すると以下の式[7]のようになる。
\int_{0}^{\infty }t^{n+1}\cdot \frac{d \left ( \left< C\right> - C_{\mathrm{\infty}}\right )}{dt}dt = \frac{Q}{V}\int_{0}^{\infty }t^{n+1}\cdot \left ( C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{e}}(t) \right )dt \; \cdots \; [7]
▶ 部分積分（Integration by parts）
よって、\def\arraystretch{1.0}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \left ( t^{n+1} \cdot F \right )' = \left ( n+1 \right )t^{n} \cdot F + t^{n+1} \cdot \frac{dF}{dt} \end{aligned}\end{array}
\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{cc}\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} t^{n+1} \cdot \frac{dF}{dt}dt &= \left [t^{n+1}\cdot F \right ]_{0}^{\infty } -(n+1)\int_{0}^{\infty} t^{n} \cdot F dt \\\ &= F_{\infty}(n+1)\int_{0}^{\infty}t^{n}dt -(n+1)\int_{0}^{\infty} t^{n} \cdot F dt \\\ &= (n+1)\int_{0}^{\infty}t^{n} \cdot \left (F_{\infty} - F \right )dt \end{aligned}\end{array}
式[7]の左辺に対し、上記の部分積分（Integration by parts）の概念を適用すると、以下の式[8]のように展開される。
\int_{0}^{\infty }t^{n+1}\cdot \frac{d \left ( \left< C\right> - C_{\mathrm{\infty}}\right )}{dt}dt = {\color{Blue} \left[ t^{n+1} (\langle C \rangle - C_\infty) \right]_0^\infty - \int_{0}^{\infty} (n+1)t^n (\langle C \rangle - C_\infty) dt} \; \cdots \; [8]ここで第一項の境界条件を評価する。下限t =0においては、t n+1=0である。一方、上限t → ∞においては、室内の濃度が最終的な定常濃度に漸近する（〈C〉→ C∞）ため、濃度差（〈C〉- C∞）は0に収束する。したがって、第一項は上限・下限ともに消失する。 結果として、この辺（式[9]）には負の符号を伴う第二項のみが残存する。
\int_{0}^{\infty }t^{n+1}\cdot \frac{d \left ( \left< C\right> - C_{\mathrm{\infty}}\right )}{dt}dt = {\color{Blue} - (n+1)\int_{0}^{\infty} t^n (\langle C \rangle - C_\infty) dt} \; \cdots \; [9]式[9]の結果を式[7]の左辺に戻して整理すると式[10]のようになる。
{\color{Blue} - (n+1)\int_{0}^{\infty} t^n (\langle C \rangle - C_\infty) dt} =\frac{Q}{V}\int_{0}^{\infty }t^{n+1}\cdot \left ( C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{e}}(t) \right )dt \; \cdots \; [10]最後に、左辺の-(n+1) を右辺へ移項すると式[11]が導出される。この際、負の符号を右辺の被積分関数の項に適用することで、(Cs – Ce(t))の順序が反転し、(Ce(t) – Cs)となる。
{\color{Red} \int_{0}^{\infty} t^n (\langle C \rangle - C_\infty) dt =\frac{Q}{(n+1)V}\int_{0}^{\infty }t^{n+1}\cdot \left ( C_{\mathrm{e}}(t)-C_{\mathrm{s}} \right )dt} \; \cdots \; [11]室内空間「全体」の平均空気齢（〈τ〉）を求めるには、原則として室内のあらゆる場所の濃度（〈C〉）を時間に沿って測定し、その平均をとる必要がある。しかし、現実的に室内全域の濃度を漏れなく測定し続けることは不可能に近い。確実に測定できるのは、「排気口から排出されるトレーサーガス濃度（Ce(t)）」のみである。
そこで、前述の式[4]～[11]で展開した流体力学の質量保存則を活用する。
【1】パルス（pulse）法における室内平均空気齢の算出
A. 室内平均空気齢の基本式とモーメント次数（n = 1）の決定
そもそもトレーサーガスを用いた「パルス法」において、室内空間全体の平均空気齢〈τ〉を導出する基本式は次の式[12]のように定義される。
\left< \bar{\tau} \right> = \frac{\int_{0}^{\infty }t^{2}\cdot \left< C\right> dt}{\int_{0}^{\infty }C_{\mathrm{e}}(t)dt} \; \cdots \; [12]この基本式の分子には、実測が困難な室内データの積分が含まれており、時間t の1乗が含まれている。したがって、式[11]を利用してこの分子の項を変換するには、1次モーメント（n = 1）を設定すべきことがわかる。
B. 境界条件の適用と実用的な算出式
パルス（pulse）法は、初期の極めて短い時間に限定してトレーサーガスを注入し、以降はガスの供給を遮断する手法である。したがって、測定期間を通じて給気濃度はゼロ（Cs = 0）であり、無限時間経過後には室内のガスは完全に排出されるため、最終的な室内濃度もゼロ（C∞ = 0）に漸近する。
さらに、算出目的である「空気齢（平均滞留時間）」は時間の1次モーメントに相当するため、n = 1を設定する。これにより、右辺の被積分関数の時間項はt2となり、係数の分母は2Vとして評価される。
これらの条件（Cs = 0、C∞ = 0、n = 1）を式[11]に代入して整理することで、以下の式[13]が導出される。
\int_{0}^{\infty} t \cdot \left< C \right> dt = \frac{Q}{2V}\int_{0}^{\infty }t^{2} \cdot C_{\mathrm{e}}(t) dt \; \cdots \; [13]式[13]は、実測が極めて困難な「室内空間全体の平均濃度の時間積分（左辺）」を、測定が容易な「排気口濃度の2次モーメント（右辺）」によって数学的に完全に置換できることを示している。
この式[13]の右辺（排気口のデータ）を、基本式[12]の分子にそのまま代入する。その結果、測定不可能な室内データ〈C〉が完全に排除され、最終的な室内空間全体の平均空気齢は式[14]として整理される。
\left< \bar{\tau} \right> = \frac{Q}{2V} \cdot \frac{\int_{0}^{\infty }t^{2}\cdot C_{\mathrm{e}}(t)dt}{\int_{0}^{\infty }C_{\mathrm{e}}(t)dt} \; \cdots \; [14]この式[14]の導出により、室内空間全体の分布を測定せずとも、排気口におけるトレーサー濃度（Ce(t)）の推移を測定するだけで、室内空間全体の平均空気齢を正確に算出できる。
【2】ステップアップ（step-up）法における室内平均空気齢の算出
A. 室内平均空気齢の基本式とモーメント次数（n = 0）の決定
トレーサーガス（一定の給気濃度：Cs）を用いた「ステップアップ（step-up）法」において、室内空間全体の平均空気齢〈τ〉を導出する基本式は、次の式[15]のように定義されている。
\left< \bar{\tau} \right> = \int_{0}^{\infty }\frac{C_{\mathrm{s}}-\left< C \right>}{C_{\mathrm{s}}}dt \; \cdots \; [15]この基本式には「パルス（pulse）法」と異なり、時間t の乗数が含まれていない。したがって、式[11]を利用する際、0次モーメント（n = 0）を設定すべき（n = 0により、右辺の時間項はt 1 = t となり、分母は1・V = Vとなる。）ことがわかる。
B. 境界条件の適用と実用的な算出式
ステップアップ法は、初期濃度ゼロの室内に対し、時刻t = 0から一定の濃度（Cs）でトレーサーガスを持続的に供給し続ける手法である。十分に時間が経過した後の最終的な室内濃度は、給気濃度と等しく（C∞ = Cs）なる。
これらの条件（C∞ = Cs、n = 0）を式[11]に代入して整理することで、以下の式[16]が導出される。
\int_{0}^{\infty} \left (\left< C \right> - C_{s}\right ) dt = \frac{Q}{V}\int_{0}^{\infty }t \cdot \left ( C_{\mathrm{e}}(t) - C_{s}\right ) dt \; \cdots \; [16]この式の両辺に、-1/Csを掛けて整理すると、以下の式[17]が得られる。
\int_{0}^{\infty }\frac{C_{\mathrm{s}}-\left< C \right>}{C_{\mathrm{s}}}dt = \frac{Q}{V} \int_{0}^{\infty } t \cdot \frac{C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{e}}(t)}{C_{\mathrm{s}}}dt \; \cdots \; [17]式[17]の左辺は、ステップアップ法の基本式[15]と完全に一致している。したがって、式[17]の右辺がそのまま、排気口データのみを用いたステップアップ法の算出式（式[18]）となる。
\left< \bar{\tau} \right> = \frac{Q}{V} \int_{0}^{\infty } t \cdot \frac{C_{\mathrm{s}}-C_{\mathrm{e}}(t)}{C_{\mathrm{s}}}dt \; \cdots \; [18]これにより、ステップアップ法においても、排気口の濃度データ（Ce(t)）と給気濃度（Cs）さえ測定すれば、室内の平均空気齢を正確に求められる。
【3】ステップダウン（step-down）法における室内平均空気齢の算出
A. 室内平均空気齢の基本式とモーメント次数（n = 0）の決定
トレーサーガスを用いた「ステップダウン（step-down）法」において、室内空間全体の平均空気齢〈τ〉を導出する基本式は、次の式[19]のように定義されている。
\left< \bar{\tau} \right> = \int_{0}^{\infty }\frac{\left< C \right>}{C(0)}dt \; \cdots \; [19]ここで、C(0)は時刻t = 0における初期の均一な室内濃度である。
ステップアップ法と同様に、この基本式にはt の乗数が含まれないため、ここでも0次モーメント（n = 0）を設定する。
B. 境界条件の適用と実用的な算出式
ステップダウン法は、室内に初期濃度C(0)のガスが均一に充満した状態から、時刻t = 0に清浄な空気（ガス濃度ゼロ）の供給を開始し、ガスを洗い流す手法である。したがって、給気濃度はゼロ（Cs = 0）であり、最終的に室内のガスは完全に排出されるため、最終濃度もゼロ（C∞ = 0）となる。
これらの条件（C∞ = 0、Cs = 0、n = 0）を式[11]に代入して整理することで、以下の式[20]が導出される。
\int_{0}^{\infty} (\left< C \right> - 0) dt = \frac{Q}{V}\int_{0}^{\infty }t \cdot (C_{\mathrm{e}}(t) - 0 ) dt \; \cdots \; [20]整理し、両辺を初期の均一濃度（C(0)）で割ると、以下の式[21]が得られる。
\int_{0}^{\infty }\frac{\left< C \right>}{C(0)}dt = \frac{Q}{V} \int_{0}^{\infty } t \cdot \frac{C_{\mathrm{e}}(t)}{C(0)}dt \; \cdots \; [21]式[21]の左辺も、ステップダウン法の基本式[19]と完全に一致しているため、式[21]の右辺がそのまま実用的な算出式（式[22]）となる。
\left< \bar{\tau} \right> = \frac{Q}{V} \int_{0}^{\infty } t \cdot \frac{C_{\mathrm{e}}(t)}{C(0)}dt \; \cdots \; [22]ステップダウン法においても、測定が困難な室内各所の濃度推移を追う必要はなく、排気口の濃度減衰データ（Ce(t)）と初期濃度（C(0)）を積分するだけで、室内空間全体の平均空気齢を導出できる。
以上のことを全て整理すると、表1のように纏めることができる。
表 1. 各種方法における空気齢の算出式
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ここで、t [s]は時間、Cp(t ) [m3/m3]は時間 t の点 P でのトレーサー濃度、Cs [m3/m3]は給気口からのトレーサー濃度、Cp,up(t ) [m3/m3]はステップアップ（step-up）法における時間 t の点 P でのトレーサー濃度、Cp,dn(t ) [m3/m3]はステップダウン（step-down）法における時間 t の点 P でのトレーサー濃度、C (0) [m3/m3]は室内のトレーサー初期濃度、Ce(t ) [m3/m3]は時間 t の排気口でのトレーサー濃度、V [m3]は室容積、Q [m3/s]は給気流量である。
Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]