自然換気量の計算法 [単一開口の場合]

建物の単一開口部で生じる換気量は式[1]に示すよう、多重開口部で生じる換気量に1/3を掛けた値¹[1] Brown W.G., Solvason K.R., 1962, Natural convection through rectangular openings in partitions Pt. 1: Vertical partitions, International Journal of Heat and Mass Transfer, 5, p.859-868.で計算可能となる。

Q = \frac {\alpha A}{3} \sqrt{\frac{2 \Delta P}{\rho}} \; \cdots \; [1]

ここで、Q [m³/s]は換気量、α [-]は流量係数、A [m²]は開口面積、ρ [kg/m³]は流体密度、ΔP [Pa]は室内外圧力差である。

※ 単一開口ではなく、多重開口における自然換気量の計算法は計算原理が異なるため、下記のブログをご確認ください。
https://lee-lab.net/blog-contents-003

【1】計算式の証明

図1に室内温度が室外温度より高い場合、温度差によって生じる単一開口部の風速勾配を示す。ここで、高さ方向z軸を変数とした圧力勾配は式[2]により定義され、摩擦のない理想の状態（frictionless）で外部へ流出される気流勾配は式[3]によって定義される。

\Delta P(z) = \Delta \rho gz \; \cdot \cdot \cdot \; [2]

V(z) = \sqrt{\frac{2\Delta P(z)}{\rho }} \; \cdot \cdot \cdot \; [3]

図1. 単一開口部における風速勾配

ここで、V(z)の平均風速を計算し、流出又は流入する開口部の面積を掛けると換気量が計算できる。また、V(z)は式[3]により、z^1/2に比例するので、下記の式[4]を用いる。

V(z) \propto z^{1/2} \; \rightarrow  \;  \frac{V(z)}{V_{max}} = \left ( {\frac{z}{(h/2)}} \right ) ^{1/2}\; \cdot \cdot \cdot \; [4]

平均風速は、断面一次モーメント概念から積分して表すと便利となり、式[5]が得られる。

\def\arraystretch{2.5}\begin{aligned}
\bar{V} &= \frac{1}{(h/2)} \int_{0}^{h/2}V(z)dz \\\ 
&= \frac{V_{max}}{(h/2)^{3/2}} \int_{0}^{h/2}z^{1/2}dz \\\ 
&= \frac{V_{max}}{(h/2)^{3/2}} \frac{2}{3}(h/2)^{3/2} \\\ 
&= \frac{2}{3}V_{max} 
\end{aligned}
\; \cdots \; [5]

得られた式[5]の平均風速に、流出又は流入する開口部の面積（A/2）と、開口部で起きる摩擦損失を表す流量係数（α）を掛けて整理すると、換気量の計算式は式[6]となり、式[1]が証明される。ここで、流量係数（α）は、通常の開口部（ドア、窓）で0.6～0.7程度であり、ベルマウスでは概ね1となる。

Q=\alpha \frac{A}{2}\bar{V} = \frac{1}{3}\alpha A V_{max}=\frac{\alpha A}{3}\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho }} \; \cdot \cdot \cdot \; [6]

この式は温度差が換気駆動力になるため、式[6]の圧力差を温度差に置換して表すと式[7]となり、実用的に便利である。

Q= \frac{\alpha A}{3}\sqrt{\frac{\Delta T gh}{T_{i} }} \; \cdot \cdot \cdot \; [7]

ここで、ΔT [K]は室内温度T_i [K]と室外温度T_o [K]の室内外温度差である。

【2】粘性を考慮した様々な実験式

流体の粘性と熱の影響を考慮し、様々な実験、数値解析による研究が行われ、換気量の計算式が改善されている。Brown et al.（1963）²[2] Brown W.G., Wilson A.G., Solvason K.R., 1963, Heat and moisture flow through openings by convection, Journal of the American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning Engineers 5, p.49-54.は、室内外の圧力が同じで、中性帶が開口部の中間に位置すると仮定し、式[8]のような数学モデルを提案した。

Q = 0.343A \left ( gH \right )^{0.5} \cdot \left [ \frac{\rho_{i}-\rho_{o}}{\rho_{avg}} \right ]^{0.5} \cdot \left [ 1-0.498\left ( \frac{b}{H} \right ) \right ] \; \cdot \cdot \cdot \; [8]

Tamm（1966）³[3] Tamm W., 1966, Kalterveluste durch kuhlraumoffnungen, Kaltetechnik-Klimatisierung 18, p.142-144.は、中性帶の高さを再計算し、式[8]にあるρ_avg代わりに、ρ_iを用いてBrown et al.が提案した数学モデルを式[9]のように改善した。

Q = 0.333A \left ( gH \right )^{0.5} \cdot \left [ \frac{\rho_{i}-\rho_{o}}{\rho_{i}} \right ]^{0.5} \cdot \left [ \left ( \frac{2}{1+\left (\rho_{o}/\rho_{i} \right )^{0.333}} \right ) \right ]^{1.5} \; \cdot \cdot \cdot  \; [9]

Fritzsche et al.（1968）⁴[4] Fritzsche C., Lilienblum W., 1968, Neue messengun zur bestimmung der kalterluste an kuhlraumturen, Kaltetechnik-Klimatiserung 20, p.279-286.は、ベイン風速計（vane anemometer）を使った実験により、式[10]のように補正係数K_f,Lを追加してTammが提案したモデルを改善した。ここで、補正係数K_f,Lの導出式は式[11]に示すように計算される。

Q = 0.333K_{f,L} A \left ( gH \right )^{0.5} \cdot \left [ \frac{\rho_{i}-\rho_{o}}{\rho_{i}} \right ]^{0.5} \cdot \left [ \left ( \frac{2}{1+\left (\rho_{o}/\rho_{i} \right )^{0.333}} \right ) \right ]^{1.5} \; \cdot \cdot \cdot \; [10]

K_{f,L} = 0.48 + 0.004(T_{o}-T_{i}) \; \cdot \cdot \cdot \; [11]

Fritzsche et al.が提案したモデルは、室内に入ってくる流量と室外へ抜けていく体積流量が同じであると仮定して提示された。しかし、室内に流入した気流は、室内条件によって加熱、あるいは冷却されるので、体積流量の値を用いると誤差が発生するおそれがある。Gosney et al.（1975）⁵[5] Gosney W.B., Olama H.A.L., 1975, Heat and enthalpy gains through cold room doorways, Proceedings of the Institute of Refrigeration 72, p.31-41.は、一定の質量流量の係数を用い、式[10]のρ_o/ρ_iの代わりにρ_i/ρ_oを使用して式[12]のようなモデルを提案した。

Q = 0.221 A \left ( gH \right )^{0.5} \cdot \left [ \frac{\rho_{i}-\rho_{o}}{\rho_{i}} \right ]^{0.5} \cdot \left [ \left ( \frac{2}{1+\left (\rho_{i}/\rho_{o} \right )^{0.333}} \right ) \right ]^{1.5} \; \cdot \cdot \cdot \; [12]

Pham et al.（1983）⁶[6] Pham Q.T., Oliver D.W., 1983, Infiltration of air into cold stores. Proceedings of the 16th international Congress of Refrigeration 4, p.67-72.はTammが提案したモデルを基に、実験により開口部の換気量に関する修正係数を0.68として求め、式[13]のようなモデルを提案した。

Q = 0.226 A \left ( gH \right )^{0.5} \cdot \left [ \frac{\rho_{i}-\rho_{o}}{\rho_{i}} \right ]^{0.5} \cdot \left [ \left ( \frac{2}{1+\left (\rho_{o}/\rho_{i} \right )^{0.333}} \right ) \right ]^{1.5} \; \cdot \cdot \cdot \; [13]

以上のように、自然対流によって発生する換気量を基に、室内からの流出熱量は室内・外温度差、開口部の高さと幅によって変化する。例えば、高さ3.0 m、幅1.2 mの開口部で、室内外温度差が10 °Cの場合には、約10 kWの熱量が失われる結果となる。

[1] Brown W.G., Solvason K.R., 1962, Natural convection through rectangular openings in partitions Pt. 1: Vertical partitions, International Journal of Heat and Mass Transfer, 5, p.859-868.
[2] Brown W.G., Wilson A.G., Solvason K.R., 1963, Heat and moisture flow through openings by convection, Journal of the American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning Engineers 5, p.49-54.
[3] Tamm W., 1966, Kalterveluste durch kuhlraumoffnungen, Kaltetechnik-Klimatisierung 18, p.142-144.
[4] Fritzsche C., Lilienblum W., 1968, Neue messengun zur bestimmung der kalterluste an kuhlraumturen, Kaltetechnik-Klimatiserung 20, p.279-286.
[5] Gosney W.B., Olama H.A.L., 1975, Heat and enthalpy gains through cold room doorways, Proceedings of the Institute of Refrigeration 72, p.31-41.
[6] Pham Q.T., Oliver D.W., 1983, Infiltration of air into cold stores. Proceedings of the 16th international Congress of Refrigeration 4, p.67-72.

Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Nagoya University]