無次元数
2020-07-05無次元化（Non-dimensional Parameters）とは、、現象を支配する物理量を基準量で割って無次元化することであり、現象の本質を簡潔に記述し、相似則の導出、実験・数値シミュレーションの汎用性向上に資する。無次元数は、支配方程式の次元数削減、物理現象のスケーリング評価、設計変数の縮約化にも活用される。以下に工学で頻用される無次元数とその意義を記す。
【1】Archimedes number (Ar)
アルキメデス数（Archimedes number）は、浮力と粘性力の比率を示し、粒子沈降や自然対流などにおいて浮力が支配的であるかどうかを判断する指標である。主に、多孔質媒体や懸濁流の設計に利用される。
\begin{aligned}
\textrm{Ar} &= \frac {\rho_{s}gL^{3}\left ( \rho_{s}-\rho \right )}{\mu^{2}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Gravitational force}}{\textrm{Viscous force}}
\end{aligned}【2】Aspect ratio (AR)
アスペクト比（Aspect ratio）は、形状の幾何学的特徴（矩形における長辺と短辺の比率）を示し、構造体・空間・フィンなどの熱・流体挙動における形状依存性を表す。主に、高アスペクト比チャネル内の熱伝達設計に利用される。
\begin{aligned}
\textrm{AR} &= \frac {L}{W}\; \textrm{or} \; \frac {L}{D}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Length}}{\textrm{Width}}\; \textrm{or} \;\frac{\textrm{Length}}{\textrm{Diameter}}
\end{aligned}【3】Biot number
ビオ数（Biot number）は、伝熱に関する無次元量であり、物体表面の熱伝達抵抗と内部熱伝導抵抗の比率である。Bi ≪ 1の場合は内部温度分布が無視可能であるが、Bi ≫ 1の場合は内部温度分布を考慮するべきである。主に、過渡熱解析のモデル選定に利用される。
\begin{aligned}
\textrm{Bi} &= \frac {hL}{k}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Surface thermal resistance}}{\textrm{Internal thermal resistance}}
\end{aligned}【4】Bond number (Bo)
ボンド数（Bond number）は、浮力と表面張力の比率を表す無次元量であり、エトベス数（Eötvös number）とも呼ばれる。主に、液中の液滴、気泡などの解析に利用される。
\begin{aligned}
\textrm{Bo} &= \frac {g\left ( \rho _{f}-\rho _{v} \right )L^{2}}{\sigma _{s}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Gravitational force}}{\textrm{Surface tension force}}
\end{aligned}【5】Cavitation number (Ca)
キャビテーション数（Cavitation number）は、流体力学において、キャビテーションの解析に用いられる無次元数である。主に、ポンプ、水配管や油圧機器など、液体を用いる流体機械の解析で利用される。
\begin{aligned}
\textrm{Ca} &= \frac {P - P_{v}}{\rho V^{2}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Pressure - Vapor pressure}}{\textrm{Inertial pressure}}
\end{aligned}【6】Darcy friction factor (f)
摩擦損失係数（Darcy friction factor）は、流体力学でのダルシー・ワイスバッハの式に使われる無次元数であり、配管流れや開水路流れでの流体エネルギーの摩擦損失を記述している。基本的な流れであり、産業的にも重要であるため、数多くの式が提案されている。
\begin{aligned}
f &= \frac {8 \tau_{w*}}{\rho V^{2}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Wall friction force}}{\textrm{Inertial force}}
\end{aligned}【7】Drag coefficient (CD)
抗力係数（Drag coefficient）は、空気や水などの流体環境でのオブジェクトの抗力または抵抗を定量化するために使用される無次元の量である。
\begin{aligned}
C_{D} &= \frac {F_{D}}{1/2 \rho V^{2}A}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Drag force}}{\textrm{Dynamic force}}
\end{aligned}【8】Eckert number (Ec)
エッカート数（Eckert number）は、連続体力学における無次元数である。ある物体から十分離れた点における流体速度の二乗を、流体の比熱と、物体と流体間の温度差の積で割った値であり、物体周辺における圧縮性流体の挙動の研究に必要な定数である。
\begin{aligned}
\textrm{Ec} &= \frac {V^{2}}{c_{p}\Delta T}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Kinetic energy}}{\textrm{Enthalpy}}
\end{aligned}【9】Euler number (Eu)
オイラー数（Euler number）は、圧力損失と動圧の比で、流路の圧力変動の相対的影響を示す無次元数である。主に、インペラ・配管設計での損失評価に利用される。
\begin{aligned}
\textrm{Eu} &= \frac {\Delta P}{\rho V^{2}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Pressure difference}}{\textrm{Dynamic pressure}}
\end{aligned}【10】Fanning friction factor (Cf)
ファニング摩擦係数（Fanning friction factor）は、連続体力学計算でローカルパラメータとして使用される無次元数である。局所せん断応力と局所流動運動エネルギー密度の比率として定義される。
\begin{aligned}
C_{f} &= \frac {2\tau_{w}}{\rho V^{2}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Wall friction force}}{\textrm{Inertial force}}
\end{aligned}【11】Fourier number (Fo)
フーリエ数（Fourier number）は、過渡的な熱伝導を特徴付ける無次元数である。概念的には、拡散または伝導輸送速度と量の貯蔵速度の比である。
\begin{aligned}
\textrm{Fo} &= \frac {\alpha t}{L^{2}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Physical time}}{\textrm{Thermal diffusion time}}
\end{aligned}【12】Froude number (Fr)
フルード数（Froude number）は、流体の慣性力と重力の比を表す無次元数である。主に、造波抵抗の分析のために利用される。
\begin{aligned}
\textrm{Fr} &= \frac {V}{\sqrt{gL}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Inertial force}}{\textrm{Gravitational force}}
\end{aligned}【13】Grashof number (Gr)
グラスホフ数（Grashof Number)は、伝熱現象、物質移動現象に関して、流れ場における粘性力に対する浮力の相対的な影響を示す無次元量であり、自然対流を特徴付ける指標となる。
\begin{aligned}
\textrm{Gr} &= \frac {g \beta | \Delta T | L^{3} \rho^{2}}{\mu^{2}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Bouyancy force}}{\textrm{Viscous force}}
\end{aligned}【14】Jakob number (Ja)
ヤコブ数（Jakob Number）は、熱面の過熱による顕熱と蒸発潜熱の比である。主に、相変化伝熱設計に利用される。
\begin{aligned}
\textrm{Ja} &= \frac {c_{p}\left ( T - T_{sat} \right ) }{h_{fg}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Sensible energy}}{\textrm{Latent energy}}
\end{aligned}【15】Knudsen number (Kn)
クヌーセン数（Knudsen number）は、流体力学で用いられる無次元量のひとつであり、流れ場が連続体として扱えるか否かを決定するものである。
\begin{aligned}
\textrm{Kn} &= \frac {\lambda}{L}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Mean free path length}}{\textrm{Characteristic length}}
\end{aligned}【16】Lewis number (Le)
ルイス数（Lewis number）は、熱と物質の移動速度の比を表す無次元の物性値である。熱と物質が同時に移動するような系の解析で重要なパラメータとなる。
\begin{aligned}
\textrm{Le} &= \frac {k}{\rho c_{p} D_{AB}}= \frac {\alpha}{D_{AB}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Thermal diffusion}}{\textrm{Species diffusion}}
\end{aligned}【17】Lift coefficient (CL)
揚力係数（Lift coefficient）は、揚力体によって生成される揚力を、物体の周りの流体密度、流体速度、および関連する参照領域に関連付ける無次元係数である。
\begin{aligned}
C_{L} &= \frac {F_{L}}{1/2 \rho V^{2}A}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Lift force}}{\textrm{Dynamic force}}
\end{aligned}【18】Mach number (Ma)
マッハ数（Mach number）は、流体の流れの速さと音速との比で求まる無次元量である。 名称は、オーストリアの物理学者エルンスト・マッハ（Ernst Mach）
\begin{aligned}
\textrm{Ma} &= \frac {V}{c}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Flow speed}}{\textrm{Speed of sound}}
\end{aligned}【19】Nusselt number (Nu)
ヌセルト数（Nusselt number）はドイツの ヴィルヘルム・ヌセルトに因む無次元量で、伝熱の分野で、対流による熱伝達と流体（静止している流体）の熱伝導の比率を示す。対流が生じていなければ Nu = 1 である。
\begin{aligned}
\textrm{Nu} &= \frac {Lh}{k}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Convection heat transfer}}{\textrm{Conduction heat transfer}}
\end{aligned}【20】Peclet number (Pe)
ペクレ数（Peclet number）は、連続体の輸送現象に関する無次元数である。流れによる物理量の移流速度の、適切な勾配により駆動される同じ量の拡散速度に対する比率と定義される。
\begin{aligned}
\textrm{Pe} &= \frac {\rho LV c_{p}}{k} = \frac {LV}{\alpha}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Bulk heat transfer}}{\textrm{Conduction heat transfer}}
\end{aligned}【21】Power number (NP)
パワー数（Power number, ニュートン数）は、抵抗力と慣性力を関連を示す無次元数である。
\begin{aligned}
N_{P} &= \frac {\dot {W}}{\rho D^{5} \omega^{3}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Power}}{\textrm{Rotational inertia}}
\end{aligned}【22】Prandtl number (Pr)
プラントル数（Prandtl number）は、熱伝導に関する無次元の物性値であり、流体の動粘度と温度拡散率の比である。
\begin{aligned}
\textrm{Pr} &= \frac {\nu}{\alpha}= \frac {\mu c_{p}}{k}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Viscous diffusion}}{\textrm{Thermal diffusion}}
\end{aligned}【23】Pressure coefficient (Cp)
圧力係数（Pressure coefficient）は、流体の静圧を無次元で表した係数で、一様流の静圧からの変化分を一様流の動圧で割ることで得られる。
\begin{aligned}
C_{p} &= \frac {P- P_{\infty}}{1/2 \rho V^{2}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Surface pressure difference}}{\textrm{Dynamic pressure}}
\end{aligned}【24】Rayleigh number (Ra)
レイリー数（Rayleigh number）は、流体の自然対流による伝熱現象を特徴付ける無次元数で、浮力と熱拡散の比を表す。
\begin{aligned}
\textrm{Ra} &= \frac {g \beta | \Delta T | L^{3} \rho^{2} c_{p}}{k \mu}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Bouyancy force}}{\textrm{Viscous force}}
\end{aligned}【25】Reynolds number (Re)
レイノルズ数（Reynolds number）は、流体力学において慣性力と粘性力との比で定義される無次元量である。
\begin{aligned}
\textrm{Re} &= \frac {\rho VL}{\mu} = \frac {VL}{\nu}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Inertial force}}{\textrm{Viscous force}}
\end{aligned}【26】Richardson number (Ri)
リチャードソン数（英: Richardson number）は、浮力と慣性力の比を表す無次元量である。この値が大きい場合には自然対流による流動が支配的になる。
\begin{aligned}
\textrm{Ri} &= \frac {L^{5}g \Delta \rho}{\rho \dot V^{2}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Buoyancy force}}{\textrm{Inertial force}}
\end{aligned}【27】Schmidt number (Sc)
シュミット数（Schmidt number）は、流体の動粘度と拡散係数の比を表す無次元量であり、伝熱現象におけるプラントル数に対応する物性値である。
\begin{aligned}
\textrm{Sc} &= \frac {\mu}{\rho D _{AB}}= \frac {\nu}{D _{AB}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Viscous diffusion}}{\textrm{Species diffusion}}
\end{aligned}【28】Sherwood number (Sh)
シャーウッド数（Sherwood number) は、物質移動操作に現われる無次元量であり、次式で定義される。
\begin{aligned}
\textrm{Sh} &= \frac {VL}{D _{AB}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Overall mass diffusion}}{\textrm{Species diffusion}}
\end{aligned}【29】Specific heat ratio (γ)
比熱比（Specific heat ratio)は、定圧熱容量と定積熱容量の比である。熱力学の解析に用いるのは、それぞれ1モルあたりの定圧熱容量（定圧比熱）、定積熱容量（定積比熱）の比である。
\begin{aligned}
γ &= \frac {c _{p}}{c _{v}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Enthalpy}}{\textrm{Inertial energy}}
\end{aligned}【30】Stanton number (St)
スタントン数（Stanton number）は、伝熱や自然対流の問題に対して用いられる、熱伝達率と熱容量の比を表す無次元量である。
\begin{aligned}
\textrm{St} &= \frac {h}{ \rho c_{p} V}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Heat transfer}}{\textrm{Thermal capacity}}
\end{aligned}【31】Stokes number (Stk)
ストークス数（Stokes number）は、流体中を運動する微粒子について、流体への追従性を記述するために用いられる無次元量である。St << 1 ならば、微粒子の軌跡は流体の流線にほぼ一致すると考えて良い。
\begin{aligned}
\textrm{Stk} &= \frac {\rho _{p}D _{p}^{2}V}{18\mu L}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Particle relaxation time}}{\textrm{Characteristic flow time}}
\end{aligned}【32】Strouhal number (St)
ストローハル数（Strouhal number）は、流体力学において、
\begin{aligned}
\textrm{St} &= \frac {fL}{V}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Characteristic flow time}}{\textrm{Period of oscillation}}
\end{aligned}【33】Weber number (We)
ウェーバー数（Weber number）は、流体力学において慣性力と表面張力の比を表す無次元量である。
\begin{aligned}
\textrm{We} &= \frac {\rho V^{2}L}{\sigma _{s}}
\rightarrow \; \frac{\textrm{Inertial force}}{\textrm{Surface tension force}}
\end{aligned}Written by Sihwan Lee
[Associate Professor, Tokyo University of Science]